Сравнение дробей
Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.
Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.
Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).
Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.
Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателямиДроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.
Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.
Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:
Умножим дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:
Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.
После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:
Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:
2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.
Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.
Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.
При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.
Например, 10−8=2
10 — уменьшаемое
8 — вычитаемое
2 — разность
Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.
А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2
5 — уменьшаемое
7 — вычитаемое
−2 — разность
В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.
Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.
С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.
Например, решим пример .
Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем
поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:
Теперь решим такой пример
Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:
В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.
Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите действия с дробями.
После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:
Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .
А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое
А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:
Пример 3. Найти значение выражения
Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:
Теперь сравним дроби и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь
А это значит, что и уменьшаемое меньше, чем вычитаемое
А это гарантировано приведёт нас в мир отрицательных чисел. Поэтому разумнее остановиться на этом месте и не продолжать вычисление. Продолжим его, когда изучим отрицательные числа.
Пример 4. Найти значение выражения
Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем их к одинаковому (общему) знаменателю:
Теперь нужно сравнить дроби и . У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .
А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое
Поэтому мы смело можем продолжить вычисление нашего примера:
Сначала мы получили ответ . Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге получили ответ .
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Сравнить дроби:
Решение:
Задание 2. Сравнить дроби:
Решение:
Задание 3. Сравнить дроби:
Решение:
Задание 4. Сравнить дроби:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Виды дробей и основные понятия, формулы и примеры решений
Определение
Дробью или обыкновенной дробью называется число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.
Подробнее об обыкновенных дробях по ссылке →
Обыкновенные дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной (называется винкулум) или наклонной (солидус) черты, которую называют чертой дроби.
Например. 1/3, $\frac{1}{3}$ (читается: одна третья).
Определение
Число, которое стоит над чертой дроби, называется числителем, а число, записанное под чертой дроби —
Например. 1/3, У дроби $\frac{15}{17}$ (пятнадцать семнадцатых) число 15 является числителем, 17 — знаменателем.
Определение
Если числитель дроби меньше, чем ее знаменатель, то дробь называется правильной.
Дробь, числитель которой либо равен, либо больше знаменателя, называется неправильной.
Подробнее о правильных и неправильных дробях по ссылке →
Например. Дробь $\frac{3}{4}$ (три четвертых) является правильной, так как числитель этой дроби — 3 — меньше, чем знаменатель, который равен 4: 3
Определение
Сумму натурального числа и правильной дроби обычно записывают без знака плюс. Такие дроби называются смешанными. Натуральное число называют целой частью смешанного числа, а правильную дробь — дробной частью смешанного числа.
Подробнее о смешанных дробях по ссылке →
Например. $7 \frac{4}{5}=7+\frac{4}{5}$ (семь целых четыре пятых). 7 — целая часть, $\frac{4}{5}$ — дробная.
Определение
Если числитель и знаменатель дроби нельзя сократить на одно и тоже число, отличное от 1, то дробь называется несократимой; иначе — сократимой.
Например. Дробь $\frac{3}{5}$ (три пятых) является несократимой, так 3 и 5 являются взаимно простыми числами, то есть их нельзя поделить на одно и тоже число. Дробь $\frac{3}{9}$ (три девятых) сократимая, так как числитель и знаменатель делится на 3.
Определение
Если знаменателем дроби являются числа 10, 100, 1000 и т.п., то такая дробь называется десятичной.
Подробнее о десятичных дробях по ссылке →
Например. $\frac{3}{10}, \frac{17}{1000}, \frac{7}{100}$
Для удобства записи такие дроби записывают без знаменателя, целую часть от дробной отделяют запятой.
Например. $\frac{3}{10}=0,3, \frac{17}{1000}=0,017,7 \frac{7}{100}=7,07$
Определение
Составной дробью называется выражение, которое содержит несколько черт дроби.
Например. $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}, \frac{3 / 4}{6 / 7}$
Читать следующую тему: обыкновенные дроби.
Слишком сложно?
Понятие дроби. Виды дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Правильные и неправильные дроби. Сравнение
Обыкновенные дроби делятся на правильные и неправильные.
Правильные дроби
Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Чтобы узнать является ли дробь правильной, надо сравнить её члены между собой. Члены дроби сравниваются в соответствии с правилом сравнения натуральных чисел.
Пример. Рассмотрим дробь:
у которой 7 — это числитель, а 8 — знаменатель. Сравним числитель со знаменателем:
7 < 8.
Так как числитель меньше знаменателя, значит данная дробь является правильной.
Любая правильная дробь меньше единицы:
Неправильные дроби
Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
Пример 1. Рассмотрим дробь:
у которой 8 — это числитель, а 7 — знаменатель. Сравним числитель со знаменателем:
8 > 7.
Так как числитель больше знаменателя, значит данная дробь является неправильной.
Пример 2. Рассмотрим дробь:
Сравним числитель со знаменателем:
14 = 14.
Так как числитель равен знаменателю, значит данная дробь является неправильной.
Любая неправильная дробь больше единицы или равна ей:
Обратите внимание, что любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, следующим образом:
Дробь с числителем p и знаменателем 1 – это другая форма записи натурального числа p: .
Число 0 принято считать равным дроби вида , где q — любое натуральное число:
Любую неправильную дробь, у которой числитель больше знаменателя можно представить в виде смешанного числа.
Правила перевода и дополнительные примеры можно посмотреть в теме Перевод неправильной дроби в смешанное число
. Также для перевода неправильной дроби в смешанное число вы можете воспользоваться онлайн калькулятором.
Сравнение правильных и неправильных дробей
Любая неправильная обыкновенная дробь больше правильной, так как правильная дробь всегда меньше единицы, а неправильная больше единицы или равна ей.
Правила сравнения и дополнительные примеры можно посмотреть в теме Сравнение обыкновенных дробей
. Также для сравнения дробей или проверки сравнения вы можете воспользоваться онлайн калькулятором.
§ Сравнение дробей. Сравнение дробей с разными знаменателями
Также как и натуральные числа обыкновенные дроби можно сравнивать.
Рассмотрим две неравные дроби на числовой оси. Меньшая дробь будет располагаться левее, а большая — правее.
Равные дроби соответствует одной и той же точке на числовой оси.
На рисунке хорошо видно, что < . Но необязательно пользоваться числовой осью, чтобы сравнивать дроби.Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Запомните!Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Пример. Сравним и .В обеих дробях одинаковый знаменатель равный 5.
В первой дроби числитель равен 1 и он меньше числителя второй дроби, который равен 4.
Поэтому первая дробь меньше второй .Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Запомните!Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Пример. Сравним и . Ответ:Правило выше легче понять, если представить, что у вас в руках куски торта. В первом случае торт разделили на 2 части (знаменатель дроби равен 2), и у вас в руках половина торта, а во втором — торт поделили на 8 частей, и у вас в руках маленькая часть торта.
Сравнение дробей с разными знаменателями
Запомните!Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
После приведения дробей к общему знаменателю, дроби сравниваются по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравним и .- Приводим дроби к общему знаменателю.
- Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями.
Это объясняется тем, что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Квадрат правильной дроби всегда меньше самой дроби. Неправильная дробь. Какая дробь называется правильной
Делятся на правильные и неправильные.
Правильные дроби
Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Чтобы узнать является ли дробь правильной, надо сравнить её члены между собой. Члены дроби сравниваются в соответствии с правилом сравнения натуральных чисел .
Пример. Рассмотрим дробь:
Пример:
Правила перевода и дополнительные примеры можно посмотреть в теме Перевод неправильной дроби в смешанное число . Также для перевода неправильной дроби в смешанное число вы можете воспользоваться онлайн калькулятором .
Сравнение правильных и неправильных дробей
Любая неправильная обыкновенная дробь больше правильной, так как правильная дробь всегда меньше единицы, а неправильная больше единицы или равна ей.
Пример:
Правила сравнения и дополнительные примеры можно посмотреть в теме Сравнение обыкновенных дробей . Также для сравнения дробей или проверки сравнения вы можете воспользоваться
Правильные и неправильные дроби отталкивают учеников 5 класса математики своими названиями. Тем не менее, ничего страшного в этих числах нет. Чтобы не допускать ошибок в вычислениях и развеять все тайны, связанные с этими числами, рассмотрим тему в подробности.
Что такое дробь?
Дробью зовут незавершенную операцию деления. Еще один вариант: дробь это часть целого. Числитель это количество частей, принятых к расчету. Знаменатель общее количество частей, на которое разделили целое.
Виды дробей
Выделяют следующие виды дробей:
- Обыкновенная дробь. Это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
- Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя.
- Смешанное число, которое имеет целую и дробную часть
- Десятичная дробь. Это число, у которого в знаменателе всегда степень числа 10. Записывается такая дробь с помощью разделительной запятой.
Какая дробь называется правильной?
Правильной дробью называют обыкновенную дробь. Этот подвид дробей появился раньше прочих. Позже виды чисел увеличивались, открывались и создавались новые числа и дроби. Первую дробь называют правильной, потому что именно она отражает смысл, который вкладывали древние математики в понятие дроби: это часть числа. При этом эта часть всегда меньше целого, то есть, 1.
Почему неправильную дробь так называют?
Неправильная дробь больше 1. То есть она уже немного не соответствует первому определению. Это уже не часть целого. Можно представлять себе неправильную дробь, как кусочки нескольких пирогов. Ведь пирог не всегда один. Тем не менее, дробь считается неправильной.
Неправильную дробь не принято оставлять в результате вычислений. Лучше преобразовать ее в смешанное число.
Как перевести правильную дробь в неправильную?
Перевести правильную дробь в неправильную или наоборот невозможно. Это разные категории чисел. Но некоторые ученики часто путают понятия и называют перевод неправильной дроби в смешанные числа превращением неправильной дроби в правильную.
В смешанные числа неправильную дробь переводят достаточно часто, как и смешанные числа в неправильные дроби. Чтобы перевести неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель поделить на знаменатель с остатком. Остаток в этом случае станет числителем дробной части, частное станет целой частью, а знаменатель останется прежним.
Что мы узнали?
Мы вспомнили, что такое дробь. Повторили все виды дробей и сказали, какую дробь называют правильной. Отдельно отметили, почему неправильная дробь получила такое название. Сказали, что перевести неправильную дробь в правильную или наоборот не получится. Последнее утверждение можно считать правилом правильных и неправильных дробей.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.2 . Всего получено оценок: 260.
Обыкновенные дроби делятся на \textit{правильные} и \textit{неправильные} дроби. Такое разделение основано на сравнении числителя и знаменателя.
Правильные дроби
Правильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель меньше знаменателя, т.е. $m
Пример 1
Например, дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{9}{123}$, $\frac{77}{78}$, $\frac{378567}{456298}$ являются правильными, так как в каждой из них числитель меньше знаменателя, что отвечает определению правильной дроби.
Существует определение правильной дроби, которое базируется на сравнении дроби с единицей.
правильной , если она меньше единицы:
Пример 2
Например, обыкновенная дробь $\frac{6}{13}$ является правильной, т.к. выполняется условие $\frac{6}{13}
Неправильные дроби
Неправильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель больше или равен знаменателю, т.е. $m\ge n$.
Пример 3
Например, дроби $\frac{5}{5}$, $\frac{24}{3}$, $\frac{567}{113}$, $\frac{100001}{100000}$ являются неправильными, так как в каждой из них числитель больше или равен знаменателю, что соответствует определению неправильной дроби.
Дадим определение неправильной дроби, которое базируется на ее сравнении с единицей.
Обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ является неправильной , если она равна или больше единицы:
\[\frac{m}{n}\ge 1\]
Пример 4
Например, обыкновенная дробь $\frac{21}{4}$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac{21}{4} >1$;
обыкновенная дробь $\frac{8}{8}$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac{8}{8}=1$.
Рассмотрим более подробно понятие неправильной дроби.
Возьмем для примера неправильную дробь $\frac{7}{7}$. Значение этой дроби — взяли семь долей предмета, который поделен на семь одинаковых долей. Таким образом, из семи долей, которые есть в наличии, можно составить весь предмет. Т.е. неправильная дробь $\frac{7}{7}$ описывает целый предмет и $\frac{7}{7}=1$. Итак, неправильные дроби, у которых числитель равен знаменателю, описывают один целый предмет и такая дробь может быть заменена на натуральное число $1$.
$\frac{5}{2}$ — достаточно очевидно, что из этих пяти вторых долей можно составить $2$ целых предмета (один целый предмет будут составлять $2$ доли, а для составления двух целых предметов нужны $2+2=4$ доли) и остается одна вторая доля. Т.е., неправильная дробь $\frac{5}{2}$ описывает $2$ предмета и $\frac{1}{2}$ долю этого предмета.
$\frac{21}{7}$ — из двадцати одной седьмых долей можно составить $3$ целых предмета ($3$ предмета по $7$ долей в каждом). Т.е. дробь $\frac{21}{7}$ описывает $3$ целых предмета.
Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель нацело делится на знаменатель (например, $\frac{7}{7}=1$ и $\frac{21}{7}=3$), или суммой натурального числа и правильной дроби, если числитель нацело не делится на знаменатель (например,$\ \frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$). Поэтому такие дроби и называются неправильными .
Определение 1
Процесс представления неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (например, $\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$) называется выделением целой части из неправильной дроби .
При работе с неправильными дробями прослеживается тесная связь между ними и смешанными числами.
Неправильная дробь часто записывается в виде смешанного числа — числа, которое состоит из целой и дробной части.
Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет составлять целую часть смешанного числа, остаток — числитель дробной части, а делитель — знаменатель дробной части.
Пример 5
Записать неправильную дробь $\frac{37}{12}$ в виде смешанного числа.
Решение.
Разделим числитель на знаменатель с остатком:
\[\frac{37}{12}=37:12=3\ (остаток\ 1)\] \[\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}\]
Ответ. $\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}$.
Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо знаменатель умножить на целую часть числа, к произведению, которое получилось, прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель дроби. Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.
Пример 6
Записать смешанное число $5\frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби.
Решение.
Ответ. $5\frac{3}{7}=\frac{38}{7}$.
Сложение смешанного числа и правильной дроби
Сложение смешанного числа $a\frac{b}{c}$ и правильной дроби $\frac{d}{e}$ выполняет прибавлением к данной дроби дробной части данного смешанного числа:
Пример 7
Выполнить сложение правильной дроби $\frac{4}{15}$ и смешанного числа $3\frac{2}{5}$.
Решение.
Воспользуемся формулой сложения смешанного числа и правильной дроби:
\[\frac{4}{15}+3\frac{2}{5}=3+\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{15}\right)=3+\left(\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}+\frac{4}{15}\right)=3+\frac{6+4}{15}=3+\frac{10}{15}\]
По признаку деления на число \textit{5 }можно определить, что дробь $\frac{10}{15}$ — сократима. Выполним сокращение и найдем результат сложения:
Итак, результатом сложения правильной дроби $\frac{4}{15}$ и смешанного числа $3\frac{2}{5}$ будет $3\frac{2}{3}$.
Ответ: $3\frac{2}{3}$
Сложение смешанного числа и неправильной дроби
Сложение неправильной дроби и смешанного числа сводят к сложению двух смешанных чисел, для чего достаточно выделить целую часть из неправильной дроби.
Пример 8
Вычислить сумму смешанного числа $6\frac{2}{15}$ и неправильной дроби $\frac{13}{5}$.
Решение.
Сначала выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{13}{5}$:
Ответ: $8\frac{11}{15}$.
При слове «дроби» у многих бегут мурашки. Потому что вспоминается школа и задания, которые решались на математике. Это являлось обязанностью, которую необходимо было выполнить. А что если относиться к заданиям, содержащим правильные и неправильные дроби, как к головоломке? Ведь многие взрослые решают цифровые и японские кроссворды. Разобрались в правилах, и все. Так же и здесь. Стоит только вникнуть в теорию — и все встанет на свои места. А примеры превратятся в способ потренировать мозг.
Какие виды дробей существуют?
Для начала о том, что это такое. Дробь — число, которое имеет некоторую часть от единицы. Ее можно записать в двух видах. Первый носит название обыкновенной. То есть такая, у которой есть горизонтальная или наклонная черта. Она приравнивается к знаку деления.
В такой записи число, стоящее над черточкой, называется числителем, а под ней — знаменателем.
Среди обыкновенных выделяют правильные и неправильные дроби. У первых числитель по модулю всегда меньше знаменателя. Неправильные потому так и называются, что у них все наоборот. Значение правильной дроби всегда меньше единицы. В то время как неправильная всегда больше этого числа.
Есть еще смешанные числа, то есть такие у которых имеются целая и дробная части.
Второй вид записи — десятичная дробь. О ней отдельный разговор.
Чем отличаются неправильные дроби от смешанных чисел?
По своей сути, ничем. Это просто разная запись одного и того же числа. Неправильные дроби после несложных действий легко становятся смешанными числами. И наоборот.
Все зависит от конкретной ситуации. Иногда в заданиях удобнее использовать неправильную дробь. А порой необходимо перевести ее в смешанное число и тогда пример решится очень легко. Поэтому, что использовать: неправильные дроби, смешанные числа, — зависит от наблюдательности решающего задачу.
Смешанное число еще сравнивают с суммой целой части и дробной. Причем вторая всегда меньше единицы.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Если требуется выполнить какое-либо действие с несколькими числами, которые записаны в разных видах, то нужно сделать их одинаковыми. Один из методов — представить числа в виде неправильных дробей.
Для этой цели потребуется выполнить действия по такому алгоритму:
- умножить знаменатель на целую часть;
- прибавить к результату значение числителя;
- записать ответ над чертой;
- знаменатель оставить тем же.
Вот примеры того, как записать неправильные дроби из смешанных чисел:
- 17 ¼ = (17 х 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 х 2 + 1) : 2 = 79/2.
Как записать неправильную дробь в виде смешанного числа?
Следующий прием противоположен рассмотренному выше. То есть когда все смешанные числа заменяются на неправильные дроби. Алгоритм действий будет таким:
- разделить числитель на знаменатель до получения остатка;
- записать частное на месте целой части смешанного;
- остаток следует разместить над чертой;
- делитель будет знаменателем.
Примеры такого преобразования:
76/14; 76:14 = 5 с остатком 6; ответом будет 5 целых и 6/14; дробную часть в этом примере нужно сократить на 2, получится 3/7; итоговый ответ — 5 целых 3/7.
108/54; после деления получается частное 2 без остатка; это значит, что не все неправильные дроби удается представить в виде смешанного числа; ответом будет целое — 2.
Как целое число превратить в неправильную дробь?
Бывают ситуации, когда необходимо и такое действие. Чтобы получить неправильные дроби с заранее известным знаменателем, потребуется выполнить такой алгоритм:
- умножить целое число на нужный знаменатель;
- записать это значение над чертой;
- разместить под ней знаменатель.
Самый простой вариант, когда знаменатель равен единице. Тогда ничего умножать не нужно. Достаточно просто написать целое число, которое дано в примере, а под чертой расположить единицу.
Пример : 5 сделать неправильной дробью со знаменателем 3. После умножения 5 на 3 получается 15. Это число будет знаменателем. Ответ задания дробь: 15/3.
Два подхода к решению заданий с разными числами
В примере требуется вычислить сумму и разность, а также произведение и частное двух чисел: 2 целых 3/5 и 14/11.
В первом подходе смешанное число будет представлено в виде неправильной дроби.
После выполнения действий, описанных выше, получится такое значение: 13/5.
Для того чтобы узнать сумму, нужно привести дроби к одинаковому знаменателю. 13/5 после умножения на 11 станет 143/55. А 14/11 после умножения на 5 примет вид: 70/55. Для вычисления суммы нужно только сложить числители: 143 и 70, а потом записать ответ с одним знаменателем. 213/55 — эта неправильная дробь ответ задачи.
При нахождении разности эти же числа вычитаются: 143 — 70 = 73. Ответом будет дробь: 73/55.
При умножении 13/5 и 14/11 не нужно приводить к общему знаменателю. Достаточно перемножить попарно числители и знаменатели. Получится ответ: 182/55.
Так же и при делении. Для правильного решения нужно заменить деление на умножение и перевернуть делитель: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.
Во втором подходе неправильная дробь обращается в смешанное число.
После выполнения действий алгоритма 14/11 обратится в смешанное число с целой частью 1 и дробной 3/11.
Во время вычисления суммы нужно сложить целые и дробные части по отдельности. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Итоговый ответ получается 3 целых 48/55. В первом подходе была дробь 213/55. Проверить правильность можно, переведя его в смешанное число. После деления 213 на 55 получается частное 3 и остаток 48. Нетрудно заметить, что ответ правильный.
При вычитании знак «+» заменяется на «-». 2 — 1 = 1, 33/55 — 15/55 = 18/55. Для проверки ответ из предыдущего подхода нужно перевести в смешанное число: 73 делится на 55 и получается частное 1 и остаток 18.
Для нахождения произведения и частного пользоваться смешанными числами неудобно. Здесь всегда рекомендуется переходить к неправильным дробям.
Обыкновенные дроби делятся на \textit{правильные} и \textit{неправильные} дроби. Такое разделение основано на сравнении числителя и знаменателя.
Правильные дроби
Правильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель меньше знаменателя, т.е. $m
Пример 1
Например, дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{9}{123}$, $\frac{77}{78}$, $\frac{378567}{456298}$ являются правильными, так как в каждой из них числитель меньше знаменателя, что отвечает определению правильной дроби.
Существует определение правильной дроби, которое базируется на сравнении дроби с единицей.
правильной , если она меньше единицы:
Пример 2
Например, обыкновенная дробь $\frac{6}{13}$ является правильной, т.к. выполняется условие $\frac{6}{13}
Неправильные дроби
Неправильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель больше или равен знаменателю, т.е. $m\ge n$.
Пример 3
Например, дроби $\frac{5}{5}$, $\frac{24}{3}$, $\frac{567}{113}$, $\frac{100001}{100000}$ являются неправильными, так как в каждой из них числитель больше или равен знаменателю, что соответствует определению неправильной дроби.
Дадим определение неправильной дроби, которое базируется на ее сравнении с единицей.
Обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ является неправильной , если она равна или больше единицы:
\[\frac{m}{n}\ge 1\]
Пример 4
Например, обыкновенная дробь $\frac{21}{4}$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac{21}{4} >1$;
обыкновенная дробь $\frac{8}{8}$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac{8}{8}=1$.
Рассмотрим более подробно понятие неправильной дроби.
Возьмем для примера неправильную дробь $\frac{7}{7}$. Значение этой дроби — взяли семь долей предмета, который поделен на семь одинаковых долей. Таким образом, из семи долей, которые есть в наличии, можно составить весь предмет. Т.е. неправильная дробь $\frac{7}{7}$ описывает целый предмет и $\frac{7}{7}=1$. Итак, неправильные дроби, у которых числитель равен знаменателю, описывают один целый предмет и такая дробь может быть заменена на натуральное число $1$.
$\frac{5}{2}$ — достаточно очевидно, что из этих пяти вторых долей можно составить $2$ целых предмета (один целый предмет будут составлять $2$ доли, а для составления двух целых предметов нужны $2+2=4$ доли) и остается одна вторая доля. Т.е., неправильная дробь $\frac{5}{2}$ описывает $2$ предмета и $\frac{1}{2}$ долю этого предмета.
$\frac{21}{7}$ — из двадцати одной седьмых долей можно составить $3$ целых предмета ($3$ предмета по $7$ долей в каждом). Т.е. дробь $\frac{21}{7}$ описывает $3$ целых предмета.
Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель нацело делится на знаменатель (например, $\frac{7}{7}=1$ и $\frac{21}{7}=3$), или суммой натурального числа и правильной дроби, если числитель нацело не делится на знаменатель (например,$\ \frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$). Поэтому такие дроби и называются неправильными .
Определение 1
Процесс представления неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (например, $\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$) называется выделением целой части из неправильной дроби .
При работе с неправильными дробями прослеживается тесная связь между ними и смешанными числами.
Неправильная дробь часто записывается в виде смешанного числа — числа, которое состоит из целой и дробной части.
Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет составлять целую часть смешанного числа, остаток — числитель дробной части, а делитель — знаменатель дробной части.
Пример 5
Записать неправильную дробь $\frac{37}{12}$ в виде смешанного числа.
Решение.
Разделим числитель на знаменатель с остатком:
\[\frac{37}{12}=37:12=3\ (остаток\ 1)\] \[\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}\]
Ответ. $\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}$.
Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо знаменатель умножить на целую часть числа, к произведению, которое получилось, прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель дроби. Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.
Пример 6
Записать смешанное число $5\frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби.
Решение.
Ответ. $5\frac{3}{7}=\frac{38}{7}$.
Сложение смешанного числа и правильной дроби
Сложение смешанного числа $a\frac{b}{c}$ и правильной дроби $\frac{d}{e}$ выполняет прибавлением к данной дроби дробной части данного смешанного числа:
Пример 7
Выполнить сложение правильной дроби $\frac{4}{15}$ и смешанного числа $3\frac{2}{5}$.
Решение.
Воспользуемся формулой сложения смешанного числа и правильной дроби:
\[\frac{4}{15}+3\frac{2}{5}=3+\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{15}\right)=3+\left(\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}+\frac{4}{15}\right)=3+\frac{6+4}{15}=3+\frac{10}{15}\]
По признаку деления на число \textit{5 }можно определить, что дробь $\frac{10}{15}$ — сократима. Выполним сокращение и найдем результат сложения:
Итак, результатом сложения правильной дроби $\frac{4}{15}$ и смешанного числа $3\frac{2}{5}$ будет $3\frac{2}{3}$.
Ответ: $3\frac{2}{3}$
Сложение смешанного числа и неправильной дроби
Сложение неправильной дроби и смешанного числа сводят к сложению двух смешанных чисел, для чего достаточно выделить целую часть из неправильной дроби.
Пример 8
Вычислить сумму смешанного числа $6\frac{2}{15}$ и неправильной дроби $\frac{13}{5}$.
Решение.
Сначала выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{13}{5}$:
Ответ: $8\frac{11}{15}$.
Дробь
Дроби стальные и чугунные колотые
Металлическая дробь является наиболее экономичным абразивом для струйно-абразивной обработки. Достигается это за счет высокой оборачиваемости: до нескольких сотен циклов. Единственным условием для достижения такой оборачиваемости является возможность сбора и сепарации абразива после обработки. Колотые дроби применяют для очистки деталей из металлического проката перед нанесением лакокрасочных покрытий. Дробь колотая обладает хорошей режущей способностью и применима для удаления ржавчины, окалины, старых покрытий. Преимущественно используется на предприятиях машиностроения в цеховых условиях в ручных или обитаемых камерах. При обработке колотой дробью заметно меньше пылеобразование, чем при использовании электрокорунда. Ограничением применения является относительно высокий наклеп, т.к. дробь обладает более высокой удельной массой, чем неорганические абразивы. Так же при использовании чугунной колотой дроби наблюдается «волосение» поверхности. При ударе дробь разрушается и оставляет в поверхности небольшое количество чугуна, напоминающее волоски. Это явление может сказываться на адгезионных свойствах некоторых покрытий, например, газотермических.
Таким образом, колотой дробью предпочтительно обрабатывать детали из проката черных сталей с толщиной стенки от 5 мм или детали чугунного литья.
Дробь стальная литая упрочненная
Данный вид дроби представляет собой стальные шарики, различных фракционных составов. Оборачиваемость этой дроби выше, чем у колотой. Применяют эту дробь преимущественно в дробеметных машинах, где она разгоняется не сжатым воздухом, а металлической крыльчаткой. Наибольшее распространение эта дробь получила в литейном производстве. Используется для удаления опочного песка, окалины, грата. Так же возможно использование при обработке металлического проката перед покраской. Основным недостатком является высокий наклеп поверхности. Круглую стальную дробь, так же как и стеклянную используют в технологиях поверхностного упрочнения. Например, для наклепа рессор и пружин.
Стальная круглая дробь используется и для обработки бетона. При производстве бетонных полов с целью нанесения износостойкого покрытия необходимо предварительно убрать несвязанные частицы и слой цементного молочка, а так же раскрыть структуру бетона для лучшего проникновения грунта. Для этих целей используются мобильные самоходные дробеметы, оборудованные высокопроизводительными пылесосами для улавливания пыли, образующейся в процессе обработки.
Многообразие дробеметных систем заслуживает отдельной статьи.
Сравнить дробные числа. Сравнить дроби-калькулятор сравнение дробей-какая дробь больше-какая дробь меньше
Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0
Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.
Решение:
Как работать с математическим калькулятором
| Клавиша | Обозначение | Пояснение |
|---|---|---|
| 5 | цифры 0-9 | Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/- |
| . | точка (запятая) | Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 — будет записано 0.5 |
| + | знак плюс | Сложение чисел (целые, десятичные дроби) |
| — | знак минус | Вычитание чисел (целые, десятичные дроби) |
| ÷ | знак деления | Деление чисел (целые, десятичные дроби) |
| х | знак умножения | Умножение чисел (целые, десятичные дроби) |
| √ | корень | Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2 |
| x 2 | возведение в квадрат | Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16 |
| 1 / x | дробь | Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число |
| % | процент | Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%» |
| ( | открытая скобка | Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10 |
| ) | закрытая скобка | Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки |
| ± | плюс минус | Меняет знак на противоположный |
| = | равно | Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле «Решение» выводится промежуточные вычисления и результат. |
| ← | удаление символа | Удаляет последний символ |
| С | сброс | Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0» |
Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах
Сложение.
Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }
Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }
Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Вычитание.
Вычитание целых натуральных чисел { 7 — 5 = 2 }
Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 — (-2) = 7 }
Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 — 1,2 = 4,3 }
Умножение.
Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }
Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }
Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }
Деление.
Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }
Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }
Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }
Извлечение корня из числа.
Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }
Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }
Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }
Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }
Возведение числа в квадрат.
Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }
Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }
Перевод в десятичные дроби.
Вычисление процентов от числа
Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }
Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }
18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }
В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей.
Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями
Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3
И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями
В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило:
Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8
И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей.
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Применяем третье правило:
Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.
Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю:
- Теперь найдём второй дополнительный множитель: 6:3=2. Записываем его над второй дробью:
Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.
Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.
Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (
Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.
Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.
Содержание урока Сравнение дробей с одинаковыми знаменателямиДроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.
Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с одинаковыми числителямиСледующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.
Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:
Умножим дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:
Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.
После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:
Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:
2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.
Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.
При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.
Например, 10−8=2
10 — уменьшаемое
8 — вычитаемое
2 — разность
Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.
А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2
5 — уменьшаемое
7 — вычитаемое
−2 — разность
В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.
Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.
С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.
Например, решим пример .
Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем
поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:
Теперь решим такой пример
Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:
В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.
Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .
Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите .
После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:
Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .
А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое
А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:
Пример 3. Найти значение выражения
Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю.
Сравнение дробей. В этой статье разберём различные способы используя которые можно сравнить две дроби. Рекомендую посмотреть весь по дробям и изучать последовательно.
Прежде чем показать стандартный алгоритм сравнения дробей давайте разберём некоторые случаи, в которых сразу глядя на пример можно сказать которая из дробей будет больше. Здесь нет особой сложности, немного аналитики и всё готово. Посмотрите на следующие дроби:
В строке (1) сразу можно определить какая дробь больше, в строке (2) это сделать затруднительно и тут применим «стандартный» (или его можно назвать наиболее часто применяемым) подход для сравнения.
Способ первый – аналитический.
1. Перед нами две дроби:
Числители равны, знаменатели неравны. Какая из них больше? Ответ очевиден! Больше та, у которой меньше знаменатель, то есть три семнадцатых. Почему? Простой вопрос: Что больше – одна десятая часть от чего либо или одна тысячная? Конечно же, одна десятая.
Получается, что при равных числителях больше та дробь, у которой меньше знаменатель. Не имеет значения стоят ли в числителях единицы или другие равные числа, суть не меняется.
Дополнительно к этому можно добавить следующий пример:
Какая из данных дробей больше (х положительное число)?
На основании уже представленной информации не трудно сделать вывод.
*Знаменатель первой дроби меньше, значит она больше.
2. Теперь рассмотрим вариант когда в одной из дробей числитель больше знаменателя. Пример:
Понятно, что первая дробь больше единицы, так как числитель больше знаменателя. А вторая дробь меньше единицы, поэтому без вычислений и преобразований можем записать:
3. При сравнении некоторых обыкновенных неправильных дробей явно видно, что у одной из них целая часть больше. Например:
В первой дроби целая часть равна трём, а во второй единице, поэтому:
4. В некоторых примерах также явно видно какая дробь больше, например:
Видно, что первая дробь меньше 0,5. Почему? Если выразить подробно, то:
а вторая больше 0,5:
Поэтому можно ставить знак сравнения:
Способ второй. «Стандартный» алгоритм сравнения.
Правило! Чтобы сравнить две дроби, необходимо чтобы знаменатели были равны. Тогда сравнение осуществляется по числителям. Больше будет та дробь, у которой больше числитель.
*Это и есть основное ВАЖНОЕ ПРАВИЛО, которым пользуются для сравнения дробей.
Если даны две дроби с неравными знаменателями, то необходимо их привести к такому виду, чтобы они были равны. Для этого используется дроби.
Сравним следующие дроби (знаменатели неравны):
Приведём их:
Как привести дроби к равным знаменателям? Очень просто! Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой.
Ещё примеры:
Обратите внимание, что знаменатель вычислять не обязательно (видно что они равны), для сравнения достаточно вычислить только числители.
*Все дроби, которые мы рассмотрели выше (первый способ) можно сравнить также используя этот подход.
На этом можно было бы закончить … Но есть ещё один «беспроигрышный» способ сравнения.
Способ третий. Деление столбиком.
Посмотрите пример:
Согласитесь, что для того чтобы привести к общему знаменателю и затем сравнить числители необходимо выполнить относительно объёмные вычисления. Используем следующий подход — выполним деление столбиком:
Как только мы обнаруживаем разницу в результате, то процесс деления можно остановить.
Вывод: так как 0,12 больше чем 0,11, то вторая дробь будет больше. Таким образом, можно поступать со всеми дробями.
На этом всё.
С уважением, Александр.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.
Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8 частей, а другой на 5 частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?
Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:
Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4; 6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3 (12: 4=3 ). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2 (12: 6=2 ). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9, то и сама первая дробь меньше второй дроби.
Рекомендуем также
Что такое дробь? — Определение, факты и пример
Что такое дробь?
Дроби представляют собой равных частей целого или совокупности.
Доля целого : Когда мы делим целое на равные части, каждая часть является долей целого.
Например ,
Фрагмент коллекции : Фракции также представляют собой части набора или коллекции.
Например ,
Всего 5 детей.
3 из 5 — девушки. Итак, доля девушек составляет три пятых ( 3 ⁄ 5 ).
2 из 5 — мальчики. Итак, доля мальчиков составляет две пятых ( 2 ⁄ 5 ).
Дробное обозначение
Дробь состоит из двух частей. Число в верхней части строки называется числителем. Он сообщает, сколько равных частей взяты из целого. Число под чертой называется знаменателем. Он показывает общее делимое количество равных частей целого или общее количество равных частей, которые есть в коллекции.
Дроби на числовой строке : Дроби могут быть представлены на числовой строке, как показано ниже.
Например,
Примеры из жизни
Самыми распространенными примерами дробей из реальной жизни являются равные кусочки пиццы, фрукты, торт, плитка шоколада и т. Д.
Без примеров
Когда части целого разделены неравномерно, они не образуют дробей.
Виды фракций
Единица дроби Дроби с числителем 1 называются единичными дробями. | Правильные дроби Дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называются правильными дробями. |
Неверные дроби Дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю, называются неправильными дробями. | Смешанные фракции Смешанные дроби состоят из целого числа и соответствующей дроби. |
Интересные факты |
Что такое дробь? — Определение и типы — Видео и стенограмма урока
Правильные и неправильные дроби
Во-первых, у нас есть то, что мы называем «правильными» и «неправильными» дробями. Правильные дроби — это те дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше знаменателя. Например, дробь 7/8 — правильная дробь, а 8/7 — неправильная дробь.
Думайте об этом, как о попытке отрезать кусочки только от одного пирога. С правильной дробью вы можете взять все кусочки только из одного пирога, но с неправильной дробью вам понадобится более одного пирога, чтобы получить необходимое количество ломтиков.Дробь 7/8 говорит вам взять 7 кусочков из пирога с 8 кусочками. Вы можете взять все кусочки только из одного пирога. Но дробь 8/7 говорит, что вам нужно 8 ломтиков от пирога, у которого всего 7 ломтиков. Если в вашем пироге всего 7 ломтиков, вы можете взять только 7 ломтиков из одного пирога. Чтобы получить 8-й ломтик, вам понадобится второй пирог, который также нарезан на 7 частей, из которых вы можете взять один кусок, чтобы сделать 8-й ломтик.
Можно сказать, что неправильные дроби — это жадные дроби, потому что вам нужно более одного целого пирога, чтобы удовлетворить его.Правильные фракции можно получить, сняв кусочки всего с одного пирога.
Дроби вроде и отличия
Далее у нас есть одинаковые и непохожие дроби. Подобно дроби — это дроби с одинаковым знаменателем. В отличие от дроби — это те дроби, которые различны. Например, дроби 3/4 и 2/4 похожи на дроби, потому что у них один и тот же знаменатель — 4. Просто сложите числители и получите ответ более 4, чтобы получить сумму.
Математически 2/4 упрощается до 1/2, потому что мы можем разделить как верхнее, так и нижнее числа на 2.Когда мы можем разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, мы должны сделать это, чтобы упростить дробь. Например, дробь 6/9 может быть упрощена до 2/3, поскольку мы можем разделить 6 на 3 и 9 на 3. 6, разделенное на 3, равно 2, а 9, разделенное на 3, равно 3, поэтому 6/9 упрощается до 2/3.
Эквивалентные дроби, напротив, имеют такое же число. 1/2 и 2/4 одинаковы, потому что если вы разделите верхнюю и нижнюю части 2/4 на 2, вы получите 1/2! В отличие от дробей, это совершенно разные дроби.Например, 2/4 и 6/9 отличаются от дробей, потому что даже если вы их упрощаете, вы получаете разные дроби: 2/4 упрощается до 1/2, а 6/9 упрощается до 2/3. 1/2 и 2/3 определенно разные дроби!
Смешанные числа
Теперь, наконец, у нас есть смешанных чисел , также называемых смешанными дробями . Это ваши неправильные дроби, записанные вместе с целым числом и правильной дробью. Например, наша дробь 8/7 из предыдущего может быть записана как 1 1/7, чтобы показать, что нам нужен целый пирог, а затем 1 кусок второго пирога, чтобы заполнить наши 8 ломтиков пирога, который разрезан на 7 частей.
Мы можем записать смешанные числа, как мы только что сделали с целым числом перед дробью, использующей наклонную косую черту, или мы можем написать наше целое число перед дробью, где числа расположены друг над другом. В этом случае все наше число будет центрировано горизонтальной косой чертой. И вот мы закончили наш урок.
Резюме урока
Итак, давайте рассмотрим то, что мы узнали. Мы узнали, что дробей говорят нам, сколько частей целого у нас есть.Они записываются с помощью верхнего числа, числителя , и нижнего числа, знаменателя , разделенных косой чертой. Косая черта может быть косой чертой или горизонтальной косой чертой с числителем в верхней части знаменателя с косой чертой между ними.
A правильная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя. Неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше знаменателя. Как и дроби — это дроби с одинаковым знаменателем. В отличие от дроби — это разные дроби.
Если вы можете разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, то вы можете упростить эту дробь до ее более простой формы, выполнив деление. Смешанное число — это неправильная дробь, состоящая из целого числа и правильной дроби.
Результаты обучения
По завершении этого урока вы сможете:
- Определить дроби и определить части дроби
- Как отличить правильную дробь от неправильной
- Объясните, почему вам следует упростить дроби и определить одинаковые и непохожие дроби
- Опишите, как написать смешанное число
Что такое дробь? Определение, части, примеры
Слово «дробь» происходит от латинского слова «fractio», что означает «разбивать».Египтяне, будучи самой ранней цивилизацией, изучавшей дроби, научились дробям решать свои математические задачи, которые включали разделение продуктов питания, припасов и отсутствие слитков.
В Древнем Риме дроби записывались с использованием слов для описания части целого. В Индии дроби сначала записывались одним числом над другим (числитель и знаменатель), но без линии. Только арабы добавили черту, разделяющую числитель и знаменатель.
Что такое дроби?
В математике дроби представлены как числовые значения, их можно определить как части целого. Дробь может быть частью или частью любого количества из целого, где целое может быть любым числом, определенным значением или вещью. Давайте разберемся с этой концепцией на примере. Вот пицца, которая разделена на 8 равных частей. Вы знаете, что означает 1/8?
Означает одну из восьми равных частей. Его также можно читать как:
Это называется дробью.
Части фракции
Все дроби состоят из числителя и знаменателя.
- Знаменатель показывает, на сколько частей было разделено целое. Он находится в нижней части дроби.
- Числитель указывает, сколько разделов дроби представлено. Он размещен в верхней части целого.
Виды дробей
На основании числителя и знаменателя, которые являются частями дроби, существуют различные типы дробей, и они перечислены ниже:
Правильная фракция
Правильные дроби — это дроби, у которых числитель меньше знаменателя.Часто он меньше целого. Пример: 5/7, 3/8, 2/5 и т. Д.
Неправильная фракция
Неправильная дробь — это тип дроби, в которой числитель больше или равен знаменателю. Оно всегда то же самое или больше целого. Пример: 4/3, 5/2, 8/5 и т. Д.
Единица Доля
Дроби с числителем 1 называются дробями единиц. Пример: 1/4, 1/7, 1/9 и т. Д.
Смешанная фракция
Смешанная фракция — это смесь целой и правильной фракции.Пример: \ (5 \ frac {1} {3} \), \ (2 \ frac {2} {5} \), \ (7 \ frac {9} {11} \) и т. Д.
Эквивалентная фракция
Эквивалентные дроби — это дроби, которые представляют одно и то же значение. Это та же часть целого. Чтобы получить эквивалентные дроби любой заданной дроби:
- Мы можем умножить числитель и знаменатель данной дроби на одно и то же число.
- А для деления мы можем разделить числитель и знаменатель данной дроби на одно и то же число.
Пример: Найдите две дроби, эквивалентные 5/7.
Решение:
Эквивалентная дробь 1: 5/7 = 5/7 × 2/2 = 10/14
Эквивалентная дробь 2: 5/7 = 5/7 × 3/3 = 15/21
Дроби вроде и отличия
Подобные дроби — это дроби с одинаковыми знаменателями. Пример: 5/15, 3/15, 17/15 и 31/15.
В отличие от дробей дроби имеют разные знаменатели. Пример: 2/7, 11 сентября, 13 марта и 39/46.
Дробь на числовой прямой
Представление дробей в числовой строке демонстрирует интервалы между двумя целыми числами, что также показывает нам фундаментальный принцип создания дробных чисел.
Пример: Представим дроби: 2/11, 7/11, -8/11 и -3/11 на числовой прямой.
Решение:
Поскольку знаменатель каждой дроби равен 11, мы можем разделить пространство между каждой парой двух последовательных целых чисел (в числовой строке) на 11 равных частей.
Каждая часть представляет собой дробь 1/11 на числовой прямой.
- Чтобы отметить 2/11, переместите две части вправо от нуля.
- Чтобы отметить 7/11, переместите семь частей вправо от нуля.
- Чтобы отметить -8/11, переместите восемь частей влево от нуля.
- Чтобы отметить -3/11, переместите три части влево от нуля.
Следовательно, обозначения дробей на числовой прямой будут в следующей последовательности: -8/11, -3/11, 2/11 и 7/11.
Примечание: отметки в числовой строке служат только для указания порядка дробей. Это не настоящие пробелы в числах.
☛Смежные статьи
Чтобы узнать больше о параметрах, связанных с дробями, ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, перечисленными ниже.
Примеры на дроби
Пример 1: Молоко продается по цене 16 долларов за галлон. Найдите стоимость \ (6 \ dfrac {2} {5} \) галлонов молока.
Решение:
Стоимость одного галлона молока = 16 $
Следовательно, стоимость \ (6 \ dfrac {2} {5} \) галлонов, то есть 32/5 галлонов, составит 32/5 * 16 = 102,4 доллара США
Следовательно, стоимость \ (6 \ dfrac {2} {5} \) галлонов молока составляет 102,4 доллара США
Пример 2: В классе из 48 учеников 1/4 часть из них смотрят мультфильмы. Сколько школьников не смотрели мультики?
Решение:
Общее количество студентов = 48
Количество студентов, которые смотрят мультфильмы = 1/4 × 48 = 12
Таким образом, количество школьников, которые не смотрят мультики = 48 — 12 = 36
Таким образом, количество студентов, которые не смотрят мультики, составляет 36
Пример 3: Снегопад за первые три месяца зимы составил 30.5 дюймов, 45,25 дюйма и 25,25 дюйма. С помощью правил дробей определить общее количество снега в эти месяцы?
Решение:
Общее количество снега за три месяца = 30,5 + 45,25 + 25,25
= 305/10 + 452,5 / 10 + 252,5 / 10
= (305 + 452,5 + 252,5) / 10
= 1010/10 = 101 дюйм
Таким образом, общее количество снега за 3 месяца составило 101 дюйм.
перейти к слайду перейти к слайду
Хотите заложить прочный фундамент в математике?
Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему» за ними.Испытайте Cuemath и приступайте к работе.
Забронируйте бесплатную пробную версию Класс
Часто задаваемые вопросы о дробях
Что такое дроби в математике?
Когда вся связка или коллекция разбивается на равные части или секции, мы называем это долей целого. Дроби представлены в виде p / q. Например, ¼, ½, ¾ и т. Д.
Какие бывают типы дробей?
Фракции классифицируются по следующим двум признакам:
- На основании числителя и знаменателя они делятся на правильные дроби, неправильные дроби, смешанные дроби
- На основе групп они делятся на одинаковые дроби, в отличие от дробей и эквивалентных дробей.
Сколько частей находится во фракции?
Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя.
- Числитель: числитель представляет собой число, которое ставится над чертой при записи дроби. Например, в 6/7 числитель — 6.
- Знаменатель: Знаменатель указывает часть, которая помещается под чертой при записи дроби. Например, в 6/7 знаменатель — 7.
Что такое 0.125 в виде дроби?
0,125 в виде дроби можно записать как 1/8. Вот как мы можем узнать: 125/1000 = 5/40 = 1/8
Что такое дробная часть 5/8?
Дробь единицы 5/8 — это то же самое, что дробь единицы 1/8, представленная пять раз.
Как соотносятся дроби и десятичные числа?
И дроби, и десятичные дроби — это просто способы представления чисел. Дроби записываются в виде p / q, где q 0, а в десятичных дробях целая часть числа и дробная часть соединяются через десятичную дробь, например, 0.50.
Как упростить дробь?
Для упрощения дроби. Сначала запишите множители для числителя и знаменателя. Затем определите наибольший общий делитель между ними и разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель. Вы получите уменьшенную дробь, то есть простейшую форму данной дроби. Например, 36/45 (GCF = 9) = 4/5
.Как умножать дроби?
Чтобы умножить две дроби, умножьте числители, умножьте знаменатели.Затем упростите полученную дробь. Например, 3/5 × 15/18 = 45/90 = 1/2.
Как разделить дробь?
Чтобы разделить одну дробь на другую, умножьте первую дробь на обратную величину второй дроби. Затем умножьте числители, умножьте знаменатели. Затем при необходимости упростите полученную дробь. Например, 5/6 ÷ 1/5 = 5/6 × 5/1 = 1/6.
Как вы называете дробь с одинаковым знаменателем?
Дроби с одинаковым знаменателем называются одинаковыми дробями.
Как определить, какая фракция больше?
Чтобы определить, какая дробь больше, сравните знаменатели:
- В случае разных знаменателей перепишите одну или несколько дробей с общим знаменателем.
- В случае одинаковых знаменателей дробь с большим числителем является большей дробью.
Все ли дроби меньше 1?
Нет, все дроби не меньше 1. Посмотрим!
- Правильные дроби больше 0, но меньше 1.(Числитель меньше знаменателя)
- Неправильные дроби всегда равны 1 или больше 1. (числитель больше или равен знаменателю)
Урок 20 .ОБЩИЕ ФРАКЦИИИДЕАЛЬНЫЕ ФРАКЦИИ СМЕШАННЫЕ ЧИСЛА НЕПРАВИЛЬНЫЕ ФРАКЦИИ Дробь — это число, которое нам нужно измерить.У нас есть натуральные числа 1, 2, 3, 4 для счета. Но когда мы что-то измеряем, например длину, это не всегда целое число. Следовательно, нам нужны числа, которые составляют минус , чем 1 — числа, которые являются частями от 1: половина от 1, третья, четвертая, пятая, миллионная. Почему эти порядковые числа: третье, четвертое, пятое? Так сам язык называет части. Это использование порядковых чисел логически и исторически предшествовало именам дробей. Число, которое мы называем «одна треть», например, относится к определенной точке в числовой строке. Он отмечает и называет третью часть числа 1, которая теперь является непрерывной единицей. То, что обычно преподается в виде дробей: — это на самом деле части, обученные дробными символами. Но математическая дробь — это не просто часть чего-либо. Это часть единицы, единицы измерения. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1.(«три десятых») — обычная дробь. Это в отличие от . 3, десятичная дробь или просто десятичная дробь. Числитель из 3. Знаменатель равен 10. Они называется члены фракции. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дробь означает, что число 1 разделено на 10 равных частей и, начиная слева, мы считаем 3 из них. Другими словами,Номер 1 был разделен на десятых .На этом этапе ученик должен понимать, на каком языке делится на равные части, и почему мы используем порядковые числа: третье, четвертое, пятое, шестое и так далее. См. Урок 3, раздел «Разделение на равные части». Каждая дробь строится таким образом из числа 1, которое является источником каждого числа арифметических операций. Целые числа кратны 1; дроби — это его части: его половины, трети, четверти, пятые и так далее. Поскольку числитель и знаменатель являются натуральными числами, числитель имеет отношение к знаменателю.(3 — это три десятых от 10.) И сама дробь имеет такое же отношение к 1. (3/10 — это три десятых от 1.). Таким образом, дробные символы обозначают соотношение. Дробь означает соотношение 1 к 2, 1 — половина 2. Долю можно записать как «1 равно 2, как 4 равно 8». Поэтому любое число, которое можно записать в виде дроби, называется рациональным числом В повседневной речи дробь означает часть целого, как в словосочетании «фракция учеников».»Но учащиеся дискретны, а не непрерывны, и в математике дробь — это число , нам нужно для измерения того, что является непрерывным. Математическая дробь — это не просто часть какого-либо целого. Это часть единицы измерения, которая есть 1. Что касается пирога, разделенного на равные части, то его можно и нужно описывать словесно, а не дробями. Мы не измеряем пироги. Об этом подробнее поговорим ниже. Пример 2. Если число 1 разделено на 5 равных частей, и мы посчитаем их 4, какая это дробь? Кроме того, на какие частей разделен номер 1? Ответ .Эта доля есть. Номер 1 разделен на пятых . Примечание: Чтобы разделить число 1 на пятых , мы разрезаем линию на четыре раз. Обрезаем линию на единицу меньше названия детали. В следующем уроке мы увидим, что число 1 было разложено на единичные дроби, то есть дроби с числителем 1. Таким образом, каждая дробь представляет собой число — сумму — долей единицы.Сложение и вычитание, будь то целые числа или дроби, выполняются с определенным количеством единиц. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(«две трети») — правильная дробь. Это меньше 1. На числовой прямой он находится слева от 1. В частности, это две трети от 1, как мы сейчас увидим. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. Число, которое мы пишем как 1 на 2 — — называется «половина» из-за отношения 1 к 2. 1 равно половина из 2. А сама дробь равна половина от 1. Обратите внимание, что мы пишем имя дроби через дефис, а имя соотношения — без дефиса.Таким образом мы сохраняем различие между дробями и соотношениями. См. ниже. Пример 4. Почему это число называется «две трети»? Ответ . Из-за отношения 2 к 3 2 составляет две трети от 3. А на числовой прямой эта дробь составляет две трети от 1. Чтобы разместить на числовой прямой, мы должны разрезать длину, представляющую 1, на трети, то есть на три равные части.Режем всего дважды. «Одна треть, две трети». Пример 5. Это число ¼ называется «одна четверть» или «одна четверть», потому что числитель составляет одну четверть знаменателя, а само составляет одну четверть от 1. Чтобы поместить ¼ в числовую линию, обрежьте линию на единицу меньше, чем название детали. Чтобы разделить 1 на четвертей , разрежьте линию три раза по раз. Пример 6.Прочтите эти числа: Пример 7. Какое число у стрелки? Ответ. Номер 1 был разрезан пять раз — на шесть равных частей. Это число есть. Собственные дроби — это части 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 8. — «2 и одна треть» — смешанное число. Это 2 плюс . Значения и в «2 и одна треть» означают плюс. Чтобы разместить на числовой прямой, число от 2 до 3 необходимо разрезать на три части. Обрезаем леску дважды. Неправильные дроби Если мы разделим каждую целую единицу, скажем, на трети и будем продолжать их считать — тогда мы придем к,, и так далее.То есть мы перейдем к дробям, которые равны или больше 1. Мы называем эти дроби неправильными. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Мы можем распознать неправильную дробь, если числитель больше или равен знаменателю. Фактически, когда числитель равен знаменателю, , то дробь равна 1. Мы говорим, что эти дроби тоже неправильные. В следующем уроке, пример 4 мы увидим, что можно записать 1 как дробь с при любом знаменателе . Задача 1. Какая из этих дробей меньше 1, равна 1 или больше 1?
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
* Теперь мы ясно увидим, почему мы используем полосу деления для обозначения дроби. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Когда мы заменяем неправильную дробь смешанным числом, мы говорим, что извлекаем или вынимаем целое число. Пример 9. Извлечь целое число из. Решение. = 6. «8 превратится в 53 шесть (6) раз (48), 5 осталось». Мы извлекли целое число 6. Что касается остатка, это число, которое мы должны добавить к 48, чтобы получить 53. Сравните урок 11. (Очевидно, ученик должен знать таблицу умножения.) Пример 10. = 3. «9 переходит в 31 три (3) раза (27) с остатком 4.« 27 плюс 4 равно 31. Опять же: остаток — это то, что мы должны прибавить к 27, чтобы получить 31. Пример 11. = 7. «4 точно переходит в 28 семь (7) раз». Задача 2. Ответьте смешанным числом или целым числом и остатком, в зависимости от того, что имеет смысл. а) Сколько баскетбольных команд — по 5 в команде — вы могли бы составить из 23 ÷ 5 = 4 р 3. Можно было составить 4 команды. 3 студента будут исключены.
б) Вы собираетесь совершить поездку на 23 мили, и вы прошли пятую часть дистанции Чтобы вычислить пятую часть числа, то есть разделить его на пять равных частей, разделите на 5.(Урок 15, вопрос 5) 1 миля, которая является непрерывной, будет иметь любых частей. Проблема 3. а) Сколько стоит треть из 24 человек? 24 ÷ 3 = 8 человек. б) Сколько стоит треть из 25 человек? У 25 человек нет третьей части; 3 не является делителем натурального числа 25. (Урок 15.) в) Сколько составляет треть от 25 секунд?
Время непрерывно. У него будет любая часть. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Чтобы объяснить, почему мы это делаем, см. Урок 21, вопрос 3.
«5 умножить на 2 равно 10, плюс 3 равно 13; больше 5.« «8 умножить на 3 будет 24, плюс 5 будет 29; больше 8.» Подводя итог: дроби, которые на меньше , чем 1, называются правильными дробями, в то время как дроби больше или равные 1 являются неправильными. Неправильные дроби эквивалентны смешанным числам или целым числам. * В английском языке названия правильных дробей совпадают с названиями частей, поэтому дробь и отношение перепутались.«Одна четверть» — это название части или отношение, которое представляет собой отношение между двумя числами. 5 человек составляют четверть от 20 человек — и это утверждение не является мерой, мы не используем никакой дроби. С другой стороны, дробь, которую мы называем «четвертью», представляет собой четверть непрерывной единицы измерения. Это может звучать как двусмысленность, но как еще мы можем объяснить значение этой дроби и ее место на числовой прямой? Очевидно, что сначала нужно понять соотношение — часть, имя которой — одна четверть. (Написание «5 — это из 20» или «Она съела пирога» не только стилистически неверно. Это свидетельствует о резком пренебрежении различием между дробью и названием соотношения или части.) Испанский гораздо более щепетильно отличает названия дробей от названий соотношений. Эта дробь, например, называется un doceavo , а отношение 1 к 12 составляет la duodécima parte . Мы будем уважать разделение отношения и числа, написав название числа через дефис — три четверти — но имя соотношения без дефиса: три четверти.Это разделение порождает вопрос: «Всегда ли можно назвать соотношение двух длин » (что бы это ни значило)? Есть ли у номер? Ведь у чисел есть имена. 5¼, 9 . 6,,. Если мы просто постулируем, что соответствует каждому соотношению или каждой точке на линии, что всегда — это число , то мы упустим один из самых проблемных вопросов в математике. Заинтересованный читатель может обратиться к «Эволюции действительных чисел». Пожалуйста, «переверните» страницу и выполните несколько задач . или Перейти к разделу 2: Сравнение дробей Введение | Главная | Содержание Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор Вопросы или комментарии? Эл. Почта: [email protected] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дроби: Введение в дроби
Урок 1: Знакомство с дробями
Что такое дроби?
A фракция является частью целого.Это на меньше , чем 1 целиком, но больше 0 . В реальной жизни мы постоянно используем дроби. Вы когда-нибудь заказывали бургер весом четверть и весом фунтов? Или заметили, что ваш бензобак на полон на половину ? И то, и другое — доли от общего количества — целый фунт мяса или целый бак бензина.
Дроби немного похожи на выражения деления, но это не проблема, которую нужно решать. Они представляют собой способ выражения суммы .Как и числа, дроби говорят вам , сколько у вас чего-либо.
Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как работают дроби.
Представим, что у вас есть одна пицца, разделенная на 8 ломтиков.
Предположим, вы берете 1 из 8 ломтиков.
Можно сказать, что вы взяли 1/8 пиццы. 1/8 — это дробь .
Мы пишем так, потому что у пиццы 8 ломтиков …
Мы пишем так, потому что у пиццы 8 ломтиков…и вы берете 1.
Что если вы возьмете 2 ломтика?
Теперь вы берете 2/8 пиццы.
Нижнее число 8 осталось прежним, поскольку пицца по-прежнему делится на такое же количество ломтиков.
Верхнее число изменилось, так как сейчас мы говорим о 2 срезах.
Можно также сказать, что осталось 6/8 ломтиков. Там на меньше пицц, но больше 0 пицц. Вот почему мы используем дробь.
Давайте посмотрим на другой пример того, как можно использовать дроби, чтобы показать части чего-либо.
Этот кофейник вмещает 4 чашек кофе. Щас полно.
Мы могли бы записать это в виде дроби: 4/4. 4 чашек, из 4 чашек всего.
С наступлением утра кофейник пустеет. Осталось 3 чашек, значит, он полон на 3/4.
Теперь он заполнен на 2/4.
А теперь заполнено на 1/4. У нас на меньше, чем на 1 кофейник, но у нас все еще есть на больше, чем 0 кофейников. У нас осталось фракции банка.
Запись дробей
Каждая дробь состоит из двух частей: верхнего числа и нижнего числа. С математической точки зрения они называются числителем и знаменателем . Не беспокойтесь слишком много о запоминании этих имен.Если вы помните, что означает каждое число, вы сможете понять любую дробь.
Как вы видели в слайд-шоу, нижнее число или знаменатель — это частей, на которые делится целое. В нашем примере с пиццей мы сказали, что каждый кусок составляет 1/8 пиццы. Знаменатель был 8 , так как пицца была разделена на 8 ломтиков.
Верхнее число или числитель относится к определенному количеству этих частей. Это позволяет нам узнать, о чем мы говорим.Поскольку мы говорим о на один кусок пиццы , наш числитель равен 1.
Давайте посмотрим на другой пример. Что, если мы разделим одну и ту же пиццу на 12 ломтиков вместо 8 ? Если взять один кусок, то получится 1/12 пиццы — 1 ломтиков из 12 ломтиков. Независимо от того, какую дробь вы пытаетесь написать, вы всегда пишете ее одинаково — с количеством частей внизу и частями, на которые вы ссылаетесь, вверху.
Попробуй!
Запишите эти изображения дробями.
Считывание дробей
В приведенном выше примере, если у вас есть пицца с восемью ломтиками, каждый ломтик будет составлять 1/8 пиццы. Вы бы прочитали это так: одна восьмая .
Когда мы читаем или говорим о дробях, мы используем специальные числа, называемые порядковыми числами . Хороший способ запомнить это — это то, что многие из них — это те же числа, которые вы используете, когда помещаете в порядок : третье, четвертое, пятое и так далее.
Возможно, вы уже знаете некоторые из этих чисел. Например, когда вы говорите своему боссу, что будете на работе в пол в час, вы говорите, что доберетесь туда через полчаса. Если вы помогаете подруге испечь торт, и она просит у вас трети стакана сахара, вы можете передать ей мерный стаканчик с надписью 1/3.
Вот некоторые из наиболее часто используемых дробей:
Хорошее правило, которое следует запомнить: большинство порядковых номеров оканчиваются на « th «.«Итак, 1/20 — это одна двадцатая. 1/35 — это одна тридцать пятая . 1/54 — это одна пятьдесят четвертая .
А как насчет дробей, у которых вверху нет единицы? Прочтите их, как если бы вы считали. Таким образом, если 1/5 — это одна пятая, то 2/5 — это две — пятых, а 3/5 — это три пятых. Верхнее число всегда будет «нормальным» числом, как те, которые вы используете для подсчета, а нижнее число всегда будет порядковым числом.
Попробуй!
Напишите дроби, соответствующие тексту.
Смешанные числа
Иногда вы можете увидеть дробь рядом с целым числом. Мы называем это смешанным номером . В следующем уроке мы поговорим о смешанных числах подробнее. А пока мы сконцентрируемся на том, чтобы научиться их читать. Давайте посмотрим на этот пример:
2 1/2 — смешанное число. Если мы говорим, что у нас есть 2 1/2 пиццы, это означает, что у нас есть 2 целых пицц и 1/2 другой пиццы. Вы можете прочитать 2 1/2 так: два с половиной .
Давайте попробуем другой пример. Что, если вы нальете 1 чашку чая, а затем налейте только 2/3 другой чашки? Вы могли бы написать эту ситуацию так:
Вы бы прочитали 1 2/3 так: одна и две трети. Помните, что целое число всегда , первое .
Попробуй!
Напишите правильное смешанное число рядом с каждой картинкой.
Целые дроби
Итак, вы узнали, что дробь — это часть целого.Например, 3/4 означает, что у вас три частей из четыре частей всего . Но что, если бы у вас была такая дробь?
8/8
В этом примере у нас есть восемь частей из восьми частей всего . Если верхнее и нижнее число дроби совпадают, тогда дробь равна 1. Это потому, что у вас каждая часть дроби или одно целое .Иногда это называют целиком дробью .
Итак, если бы у вас было восемь кусочков пиццы из восьми всего , у вас было бы на одну целую пиццу.
Давайте посмотрим на другой пример: 8/8 и 2/2. Хотя эти дроби могут выглядеть по-разному, на самом деле они всего лишь два способа выразить одно и то же. Поскольку это целые дроби, 8/8 и 2/2 равны 1. И поскольку они оба равны 1, они также равны друг другу.
Попробуй!
Напишите правильную целую дробь под каждой картинкой.
/ ru / fractions / Comparing-and-Reduction-Fractions / content /
Преобразование десятичной дроби в дробную
Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основ Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторинг триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок
Определение дроби по Merriam-Webster
фракция | \ ˈFrak-shən \1а : числовое представление (например, ³ / ₄, ⁵ / ₈ или 3.234), обозначающий частное двух чисел
2 : одна из нескольких частей (как дистиллята), разделяемых фракционированием. .