Таблица согласованности дроби: Таблица подбора согласованной дроби

Выбор согласованной дроби — Охотники.ру

fotolia.com

Теме этой лет 150. О том, что ружье «любит» не каждую дробь, рассуждал в эпоху капсюльных ружей автор «Записок ружейного охотника» Оренбургской губернии», вряд ли понимая суть вопроса.

Суть же состоит в том, что «согласованная» дробь, в дульном сужении минимально перестраиваясь, избегает дополнительной деформации и дает более качественную осыпь. Первые научные обоснования этой закономерности были опубликованы в 1886 году капитаном артиллерии Н.А Чижиковым.

Но история вопроса не цель, потому остановлюсь на последнем известном исследовании, проведенном инженером В. Плоским в 1986 году с помощью компьютерных технологий. Автор просчитал и свел в таблицу зоны согласования диаметра дульного сужения с диаметром применяемой дроби.

И хотя автор рассчитывал лишь диаметры дульных сужений, таблица годна для определения согласования дроби по всей длине канала ствола, т.к для этого достаточно знать его диаметры. Важность этого согласования подтверждена известными русскими оружиеведами еще до 30-х годов XX века.

Представляю таблицу тем читателям «РОГ», кому она еще неизвестна.

 

 

фото автора

Пользоваться таблицей несложно. Определим согласованную по диаметру канала ствола и чоковому сужению дробь для ижевского ружья .Условно диаметр канала 18,2 мм, соответственно диаметр сужения 17,2 мм.

В таблице жирными линиями отмечены зоны согласования для конкретного номера дроби. С диаметром 17,2 мм, т.е дульным сужением, согласуются номера: 0; 1; 2; 3; 6; 7. Как видим, собирательная способность сужения очень велика.

Далее движемся к идеалу — согласованию с диаметром канала ствола. С ним согласуются номер дроби: 0; 2; 3; 7 и 6, т.к. разницей 01–02 мм можно и пренебречь. Но есть еще одно желательное условие: дробь должна согласовываться и с диаметром гильзы.

В нашем примере этому условию соответствуют номера: 0; 2; 3; 6 и 7.Но для тройки желательна гильза папковая, с толстой стенкой. Единичка же, кроме согласования в дульном сужении, ничем не привлекает и, возможно, от нее стоит отказаться в пользу смежных номеров. А вот в чоковом стволе 16 калибра, единичка отвечает всем критериям согласования.

 

fotolia. com

Все эти хлопоты для того, чтобы обеспечить максимально плавное перестроение дробового столбика по всей геометрии ствола и, как следствие, минимальную деформацию дробин. Это в свою очередь определяет более резкий, кучный и дальний (в пределах возможного) бой.

Когда-то Н.И. Фокин, издатель петербургского журнала «Наша охота», писал, что лучший концентратор для чока — это согласованная и пересыпанная крахмалом дробь. Основную долю деформации дробь испытывает еще в гильзе. При пересыпке крахмалом дробь находится как бы в ложементе и «страдает» меньше — т.е. большая часть дробин сохраняет шарообразность.

О том, чего можно добиться при таком способе снаряжения, ниже.

В конце 80-х годов XX столетия Юрий Маслов, известный знаток охотничьего оружия, воспользовался таблицей Плоского для пробных отстрелов из ружей: ТОЗ БМ 16 калибра, ИЖ12 и « Баярда» 12 калибра. Использовались два варианта согласования дроби. В первом дробь согласовывалась с диаметром дульного среза, во втором — с дульным срезом и диаметром канала.

Патроны снаряжались следующим образом. Гильза папковая, порох «Сокол», на порох картонные прокладки и неосаленные войлочные пыжи. Последнее для меня особенно важно, т.к по поводу применения неосаленного пыжа получил я от «знатоков» свою долю критики в «РОГ».

 

fotolia.com

Был и третий вариант снаряжения. Те же гильза и пыжи, но на порох устанавливались полиэтиленовые обтюраторы, а дробь помещалась в полиэтиленовый контейнер. Дробь согласована с дульным срезом.

По результатам отстрела из всех трех ружей на дистанции в 60 метров все преимущества оказывались за крупной, согласованной с каналом ствола и дульным срезом, пересыпанной крахмалом дробью. Для 16 калибра это дробь №№ 2 и 4, для 12 номера — 2 и 3.

Сам я на 60 метров как-то не стреляю. Но таблицей пользуюсь давно и подтверждаю возможность дальних выстрелов при данном способе снаряжения для 12 калибра дробью №№ 0, 2 и 3, а для 16 — №№1, 2 и 4.

Теперь о применении контейнера. Вернее, о применении согласованной дроби в контейнере. Единого мнения на этот счет нет, и каждый волен оставаться при своем. Поделюсь своим видением предмета. Глупо было бы отрицать, что контейнер является инструментом увеличения дальности выстрела. защищает боковые дробины от истирания и компактно «несет» снаряд на некоторое удаление от дульного среза. К тому, что стаканчик является эффективной защитой дроби от перегрузок, отношусь скептически.

Многие авторы отмечают, что крупная дробь при этом ложится неравномерно и советуют подобрать другой контейнер, либо обернуть снаряд бумагой, пленкой.

Вновь обратимся к таблице, к нижнему стволу ижевского ружья с диаметром сужения 17,7 мм. С этим диаметром с небольшой натяжкой согласована дробь №№ 00, 3, 5, 6, и 7. Нам нужен патрон на гуся и для нижнего ствола.

Не мудрствуя, можно пересыпать согласованную дробь 00 крахмалом, ничего лучше для кучности и резкости не придумать. Но как поступить с нужной, но несогласованной дробью? В верхнем стволе согласованная по всем канонам, пересыпанная крахмалом нолевка. Двух нолей в запасе нет. По табличке ноль согласуется в диаметре от 16,7 до 17,4 мм.

Наша задача — разместить за счет контейнера дробь на вылете в этой зоне. Для этого годится контейнер с лепестками толщиной 0,5 мм. Если протолкнуть этот контейнер в сужение, то дробь расположится в окружности диаметром 16,7 мм, т.е. в зоне согласования.

Мой вариант — это вложенные в гильзу крест-накрест лепестки ламинированной бумаги 0,25 мм. Т.е размещается дробь в зоне окружности диаметром 17,2 мм. Таким же образом согласовываю дробь № 2. Еще раз поясняю, что для расчета зоны нужно к диаметру сужения приплюсовать двойную толщину стенки контейнера.

 

fotolia.com

В контейнер для амортизации ставлю полеуретановую прокладку высотой 8 мм, либо до половины уплотняю дробь в нижней части крахмалом. И еще, немаловажное: при подборе контейнера необходимо убедиться, как «чувствует себя» контейнер в дульном сужении. Лепестки должны располагаться ровно, смыкаясь по разрезам.

Особенно актуально это в старых ижевских ружьях ввиду заниженных диаметров канала ствола и дульных сужений. Если при прохождении дульного сужения лепестки деформируются, наползают на соседние, ровной осыпи скорее не будет. В сужении лепестки должны позиционироваться, смыкаясь по разрезам. Для примерки имею цилиндрики с нужным диаметром, высотой 30 мм и могу подобрать контейнер, не отходя от прилавка.

То, что я написал, несомненно, в том или ином виде уже публиковалось. Но вполне возможно, моя публикация, подкрепленная личным опытом, покажется кому-то полезней и доступней, чем бесконечные ссылки на авторитеты.

Александр ЯРКОВОЙ, г. Омск 6 августа 2012 в 00:00

Тестостерон: общий или свободный? Как не ошибиться в постановке диагноза

    В повседневной медицинской практике исследование крови на тестостерон выполняют при подозрении на состояния гипогонадизма у мужчин, гирсутизме и вирилизме у женщин, преждевременном половом развитии (или его задержке) у детей, при подозрении на опухоль яичек у мужчин или яичников у женщин [1].

    Типичные симптомы и проявления синдрома дефицита тестостерона (СДТ) у мужчин известны уже почти 70 лет, к ним относятся эректильная дисфункция, сниженное либидо, слабость, депрессия, беспокойство, раздражительность, нарушение концентрации внимания, суставные боли, ночная потливость, истончение и сухость кожи, преждевременное старение. Однако до сих пор неизвестно, почему между степенью проявлений СДТ и уровнем тестостерона и других андрогенов в крови нет хорошей корреляции [2].

    В случаях, когда клинические проявления СДТ и уровень общего тестостерона (TT) в крови между собой не согласуются, для подтверждения диагноза гипогонадизма целесообразно проведение исследования на свободный тестостерон, не связанный с белками переносчиками, в первую очередь с глобулином, связывающим половые гормоны (ГСПГ) [3]. Прямые методы определения свободного тестостерона в крови сопряжены с техническими трудностями и не годятся для рутинного использования, вместо них предложены вычислительные методики оценки уровня свободного тестостерона (cFT) [1, 4-7]. Показано, что низкие значения cFT, даже при нормальных величинах ТТ, согласуются с симптомами СДТ и характерны для пожилых мужчин, тогда как нормальные значения cFT при низком ТТ не связаны с этими симптомами, и скорее характерны для молодых людей с ожирением [8].

    В клинической практике широко распространены безэкстракционные методы определения ТТ на автоматических иммунохимических анализаторах (Roche, Siemens, Abbott). В ряде случаев достоверность получаемых при этом результатов ставится под сомнение [9]. Однако, предлагаемый в качестве альтернативы метод хромато-масс-спектрометрии еще недостаточно распространён в клинических лабораториях, и многие врачи не имеют чёткого представления об отличиях этого метода от иммунохимического анализа [10].

    Сравнительное исследование крови на тестостерон (Таблица 1, Рис. 1) методами иммуно-хемилюминесценции (ИХЛ) и жидкостной хромато-масс-спектрометрии (ЖХ-МС) в полном согласии с ранее опубликованными данными показало, что максимальные отличия для низких значений тестостерона, характерных для женщин, достигают 100%, с тенденцией в сторону завышения результатом методом ИХЛ; для высоких значений тестостерона, характерных для здоровых мужчин, относительная ошибка меньше – около 55%, при этом метод ИХЛ склонен занижать результаты. Интересно, что в образцах контроля качества, которые получают пулированием сыворотки, метод ИХЛ систематически завышает результаты тестостерона [11].

    Возможно, несогласованность лабораторных результатов ТТ, полученных иммунохимическими методами, и клинических проявлений при СДТ обусловлена именно аналитической ошибкой при определении ТТ.

    Ошибка определения расчётной величины свободного тестостерона определяется суммой ошибок измерения концентрации белков переносчиков и их лигандов, а также ошибкой определения соответствующих констант связывания [5]. Наглядно оценить зависимость величины cFT от значений ГСПГ и ТТ позволяет номограмма по методу Вермюлена (Рис. 2). Очевидно, что расчетная величина cFT прямо пропорциональна концентрации ТТ, и, следовательно, для целей диагностики как по общему, так и по свободному тестостерону целесообразно использовать результаты референсного метода исследования, то есть ЖХ-МС. Альтернативой сывороточному тестостерону для оценки андрогенного статуса в клинических исследованиях может стать исследование концентрации тестостерона в слюне, которое выступает дополнительным критерием диагностики [12, 13].

    Суммируя вышеизложенное, мы считаем, что в ближайшее время как метод выбора будет принят следующий диагностический алгоритм для оценки андрогенного статуса мужчин с подозрением на СДТ:

1. Определение общего тестостерона методом ЖХ-МС;
2. Определение глобулина, связывающим половые гормоны традиционными иммуноферментными методами;
3. Определение свободного тестостерона расчетными методами с использованием данных по содержанию общего тестостерона, полученных методом ЖХ-МС;
4. Определение [свободного] тестостерона в слюне методом ЖХ-МС.

Таблица 1 Оценки согласованности измерений общего тестостерона методами ИХЛ и ЖХ-МС в сыворотке крови мужчин (М), женщин (Ж) и в образцах контроля качества (КК). Примечание: средняя разность характеризует систематическое расхождение, стандартное отклонение — степень разброса результатов.

Группа	Ж	М	КК
N, чел.	109	205	19
Средняя разность (ЖХ-МС — ИХЛ), нмоль/л	-0,06	0,11	-0,32
Стандартное отклонение средней разности, нмоль/л	0,42	0,25	0,24

 

Рис. 1 Диаграмма Бленда-Альтмана: сравнение двух методов (масс-спектрометрия и иммунохемилюминисценция) измерения тестостерона в сыворотке крови мужчин (М), женщин (Ж) и в образцах контроля качества (КК).

 

Рис. 2 Номограмма для определения свободного тестостерона в крови по Вермюлену при различных значениях входных переменных – глобулина, связывающего половые стероиды (ГСПГ) и общего тестостерона [14].

 

Литература

1. Emadi-Konjin, P., J. Bain, and I.L. Bromberg, Evaluation of an algorithm for calculation of serum «bioavailable» testosterone (BAT). Clin Biochem, 2003. 36(8): p. 591-6.

2. Carruthers, M., Testosterone deficiency syndrome: cellular and molecular mechanism of action. Curr Aging Sci, 2013. 6(1): p. 115-24.

3. Winters, S.J., D.E. Kelley, and B. Goodpaster, The analog free testosterone assay: are the results in men clinically useful? Clin Chem, 1998. 44(10): p. 2178-82.

4. Dunn, J.F., B.C. Nisula, and D. Rodbard, Transport of steroid hormones: binding of 21 endogenous steroids to both testosterone-binding globulin and corticosteroid-binding globulin in human plasma. J Clin Endocrinol Metab, 1981. 53(1): p. 58-68.

5. Sodergard, R., et al., Calculation of free and bound fractions of testosterone and estradiol-17 beta to human plasma proteins at body temperature. J Steroid Biochem, 1982. 16(6): p. 801-10.

6. Vermeulen, A., L. Verdonck, and J.M. Kaufman, A critical evaluation of simple methods for the estimation of free testosterone in serum. J Clin Endocrinol Metab, 1999. 84(10): p. 3666-72.

7. Mazer, N.A., A novel spreadsheet method for calculating the free serum concentrations of testosterone, dihydrotestosterone, estradiol, estrone and cortisol: with illustrative examples from male and female populations. Steroids, 2009. 74(6): p. 512-519.

8. Antonio, L., et al., Low Free Testosterone Is Associated with Hypogonadal Signs and Symptoms in Men with Normal Total Testosterone. J Clin Endocrinol Metab, 2016. 101(7): p. 2647-57.

9. Herold, D.A. and R.L. Fitzgerald, Immunoassays for testosterone in women: better than a guess? Clin Chem, 2003. 49(8): p. 1250-1.

10. Taylor, A.E., B. Keevil, and I.T. Huhtaniemi, Mass spectrometry and immunoassay: how to measure steroid hormones today and tomorrow. Eur J Endocrinol, 2015. 173(2): p. D1-12.

11. Нижник, А.Н., Белов Д.А., Сименел Е.С. , Опыт диагностики нарушений стероидогенеза методом тандемной хромато-масс-спектрометрии среди пациентов Клиники АрхиМед [неопубликованные данные]

12. Goncharov, N., et al., Diagnostic significance of free salivary testosterone measurement using a direct luminescence immunoassay in healthy men and in patients with disorders of androgenic status. Aging Male, 2006. 9(2): p. 111-22.

13. Keevil, B.G., et al., Salivary testosterone measurement by liquid chromatography tandem mass spectrometry in adult males and females. Ann Clin Biochem, 2014. 51(Pt 3): p. 368-78.

14. Белов, Д.А., Калькулятор мужского тестостерона для ОС Windows (разработано в Клинике АрхиМед). 2016.

ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово «три» использовалось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», равно как «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета «один», «два», «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый» ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения или вычислений использовались основания 12 и 60.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ

Древний Египет.

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. (См. сводную таблицу обозначений чисел.) Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как

Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как вместо ,  а семьсот как   вместо .

В этой записи число 6789 имело вид , причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии.

Вавилон.

Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятиричной, хотя сохранилось также и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшие, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятиричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей.

Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку,  (в раннешумерских текстах – небольшой кружок).

Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Принцип повторного использования знаков позволял, например, записать число 59 в виде ,  т.е. 5·10 + 9.

Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 60², и 60³, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 10², и 10³, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или «позиции», и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Например, число 6789 можно было записать так: , т.е. 1·(60)² + 53·(60) + 9. В Древнем Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления оставалась псевдопозиционной или лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции. Обозначал ли символ число 1·(60)² + 1 или 1·(60)² + 1·(60), приходилось догадываться из контекста. Однако в период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. Например, символ  означал число 3601, т.е. 1·(60)² + 0·(60) + 1. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа. Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее изобретение вавилонянами позиционной системы счисления с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой Коперника в астрономии.

Символы для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь точны, как символы для обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы записи, иногда – с новыми символами для обозначения чисел 100 и 1000, или использовали принципы умножения или вычитания. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/60² и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

Древняя Греция.

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ Δ, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X – 1000 (хилиои), символ M – 10000 (мириои или мириада). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали символом , 500 – символом , 5000 – символом , 50000 – символом . Еще бóльшие числа обычно описывались словами. Число 6789 в аттической системе записывалось в виде

Вторая принятая в Древней Греции ионическая система счисления – алфавитная – получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Эта более тонкая система счисления была чисто десятичной, и числа в ней обозначались примерно так же, как в древнеегипетской иератической системе. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовав первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Например, число 6789 в ионической системе записывалось как FΨΘП. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные.

Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую или акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший схему октад (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10) гордо заявлял в своем сочинении Псаммит (Исчисление песчинок), что может численно выразить количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную. Изобретенная им система обозначения чисел включала число, которое ныне можно было бы записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов миллионов цифр.

С помощью простого введения диакритических знаков наподобие тех, которые греки применяли для обозначения тысяч, алфавитное обозначение целых чисел можно было бы легко приспособить для обозначения десятичных дробей, но этой возможностью они не воспользовались. Вместо этого для обозначения дробей греки использовали приемы древних египтян и вавилонян. Египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам употребление лишь аликвотных дробей, однако большие вычислительные удобства системы счисления вавилонян побудили живших позднее александрийских астрономов перейти к использованию шестидесятиричных дробей. Переняв систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись своими буквенными обозначениями. Например, Птолемей записал длину хорды, стягивающей дугу в 120° окружности радиусом в 60 единиц, как PГNЕ‘КГ‘, т.е. 103 + 55/60 + 23/60² единиц. В более поздний период в вавилонской шестидесятиричной системе имелся специальный символ для обозначения «пустой» позиции, и греческие астрономы ввели для этой цели букву омикрон. Неясно, был ли такой выбор подсказан тем, что с этой буквы начиналось слово оуден (ничто). Сходство греческой буквы О с современным обозначением нуля может быть чем-то большим, чем случайное совпадение, но у нас нет точных данных, позволяющих утверждать это со всей определенностью.

Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятиричным дробям.

Недостатки греческих обозначений дробных чисел, включая использование шестидесятиричных дробей в десятичной системе счисления, объяснялись отнюдь не пороками основополагающих принципов. Недостатки греческой системы счисления можно отнести скорее за счет их упорного стремления к строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали как набор единиц, поэтому то, что мы теперь рассматриваем как единое рациональное число – дробь, – греки понимали как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике. Кроме того, десятичные представления обыкновенных дробей в большинстве случаев бесконечны. А поскольку бесконечность была исключена из строгих рассуждений, теоретическая арифметика не нуждалась в такого рода представлениях. С другой стороны, областью, в которой практические вычисления испытывали величайшую потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская традиция была настолько сильна, что шестидесятиричная система обозначений угловых, дуговых и временных величин сохраняется и поныне.

Рим.

Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н.э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов Римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы.

Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символы I, V, X, Θ (или ⊕, или ⊗) и Φ (или , или ). Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. Согласно одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем; символ X, согласно той же теории, изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Символы чисел 100 и 1000, возможно, берут начало от греческих букв Θ и φ. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения C и M от старых римских символов или они акрофонически связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Полагают, что римский символ числа 500, буква D, возник из половинки старого символа, обозначавшего 1000. Если не считать, что большинство римских символов скорее всего не были акрофоническими и что промежуточные символы для обозначения чисел 50 и 500 не были комбинациями символов чисел 5 и 10 или 5 и 100, то в остальном римская система счисления напоминала аттическую. Разумеется, в деталях они отличались. Римляне часто использовали принцип вычитания, поэтому иногда вместо VIIII использовали IX и XC вместо LXXXX; сравнительно позднее символ IV вместо IIII.

В целом римляне не были склонны заниматься математикой, поэтому не испытывали особой потребности в больших числах. Тем не менее для обозначения 10000 они эпизодически использовали символ , а для числа 100000 – символ . Половинки этих символов иногда использовались для обозначения чисел 5000 () и 50000 (). Таким образом, в римских обозначениях число 6789 можно было бы записать как .

Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел. В практических задачах, связанных с измерениями, они не использовали дроби, подразделяя единицу измерения обычно на 12 частей, с тем чтобы результат измерения представить в виде составного числа, суммы кратных различных единиц, как это делается сегодня, когда длину выражают в ярдах, футах и дюймах. Английские слова «ounce» (унция) и «inch» (дюйм) происходят от латинского слова uncia (унция), обозначавшего одну двенадцатую основной единицы длины.

Обозначения чисел у древних евреев.

Семитские народы могут претендовать на роль создателей алфавитного принципа обозначения чисел в том виде, как он использовался в ионической системе. Действительно, с небольшими модификациями этот принцип применялся евреями, сирийцами, арамейцами и арабами. И все же существует мало сомнений в том, что алфавитные обозначения чисел были заимствованы ими у древних греков, по-видимому из Милета, которые изобрели эти обозначения еще в 8 в. до н.э. У евреев использование алфавитных обозначений чисел окончательно вошло в обиход к 2 в. до н.э. Девять букв алфавита использовались для обозначения первых девяти целых чисел; еще девять букв означали первые девять кратных числа 10; остальные буквы использовались для обозначения сотен. Так как букв в алфавите для обозначения всех кратных числа 100 не хватало, в Талмуде числа, превосходящие 400, записывались путем комбинации: например, число 500 обозначалось символами, соответствующими числам 400 и 100, а 900 записывалось как 400 и 400 и 100. Позднее для обозначения чисел, кратных 100 и превосходящих 400, использовались окончательные варианты формы букв или других символов, в результате чего все девять кратных числа 100 получили свои индивидуальные обозначения в виде буквы или специального знака. (См. таблицу обозначений чисел.) Как и в ионической системе счисления, символы для обозначения первых девяти кратных числа 1000 были такими же, как символы, обозначающие первые девять чисел в разряде единиц. Число 6789 евреи записывали как. Так как запись числа 15 в обычном виде как 10 и 5 совпадает с первыми двумя буквами имени Бога Яхве, древние евреи записывали число 15 как 9 и 6. Высказывалось предположение, что по аналогичным причинам древние римляне избегали записывать число IV вместо IIII, т.к. символ IV совпадает с первыми двумя буквами старолатинского написания имени Юпитер.

Америка.

Исследователи, путешествовавшие в 16 в. по Центральной Америке, обнаружили цивилизации с высокоразвитыми системами счисления, отличными от тех, которые были известны в Европе. Самыми важными элементами в системе счисления майя были использование позиционного принципа и символа нуля. Если отвлечься от того, что принятая у индейцев майя система счисления была не шестидесятиричной, а двадцатиричной и вместо 10 использовала вспомогательное основание 5, то в остальном принципы были аналогичны тем, которые ранее были в ходу у жителей Древнего Вавилона. В схеме майя точка означала единицу, а повторяющиеся точки – числа до четырех; пятерку обозначала горизонтальная черта, а две и три горизонтальные черты обозначали, соответственно, числа десять и пятнадцать. Для обозначения числа двадцать майя воспользовались позиционным принципом, используя точку, помещенную над символом нуля. (Последний имел вид .)

Числа в системе счисления древних майя записывались в столбец, причем верхние символы были старшими. Самая нижняя позиция соответствовала разряду единиц; «этажом выше» располагалось число двадцаток. Еще выше единица соответствовала не кратным числа 400, как можно было бы ожидать, а кратным числа 360. За исключением этого разряда, связанного, насколько можно судить, с календарными соображениями и продолжительностью года, все остальные более высокие позиции соответствовали степеням числа 20. Число 6789 в системе счисления, принятой у майя, записывалось как

Система счисления у ацтеков в Мексике была более последовательно двадцатиричной, чем у майя, но в остальном менее тонкой, так как не использовала ни позиционный принцип, ни специальный символ для нуля. Точка означала у ацтеков единицу, а для обозначения степеней числа 20 были введены новые знаки: флаг для 20, дерево для 400 и кошелек для 8000. При необходимости другие числа представлялись с помощью повторения этих символов, а от их чрезмерного повторения они избавлялись, вводя специальные промежуточные коллективные знаки: ромбовидный знак для 10 и фрагменты дерева для 100, 200 или 300.

До появления в Северной Америке европейцев индейцы не имели письменности. Исследования древних систем счисления показывают, что используемые названия чисел были в основном прилагательными и лишь в отдельных случаях достигали уровня абстракции, когда они становились существительными. Тем не менее с помощью рисунков или устно индейцы могли выразить число вплоть до миллиона. Системы составления чисел были самыми различными, но примерно половина из них по существу была десятичной.

Китай.

Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае, а также в Японии. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять. (См. таблицу обозначений чисел.) Первые пять кратных числа 10 обозначались одной, двумя, ј, пятью горизонтальными палочками, а одна, две, три и четыре горизонтальные палочки, к которым сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90. Для обозначения чисел больше 99 использовался позиционный принцип. Число 6789 китайцы записали бы так: . Обозначения чисел с помощью палочек тесно связано со счетом на пальцах и счетной доске, но применялось оно также и в письменных вычислениях.

Во второй китайской системе счисления для обозначения первых девяти целых чисел или символов (см. таблицу обозначений чисел) используют девять различных знаков и одиннадцать дополнительных символов для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с умножением и вычитанием это позволяло записывать любое число меньше триллиона. Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами. В такой системе счисления число 6789 выглядело бы так: , т.е. 6·1000 + 7·100 + 8·10 + 9.

Индия.

Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоторого времени имела хождение система счисления, очень напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счисления вытеснила аттическую. Вполне возможно, что переход от кхарошти к брахми происходил под влиянием греков, но сейчас вряд ли возможно хоть как-то проследить или восстановить этот переход от древних индийских форм к системе, от которой произошли наши системы счисления. Надписи, найденные в Нана-Гат и Насике, относящиеся к первым векам до нашей эры и первым векам нашей эры, по-видимому, содержат обозначения чисел, которые были прямыми предшественниками тех, которые получили теперь название индо-арабской системы. Первоначально в этой системе не было ни позиционного принципа, ни символа нуля. Оба эти элементы вошли в индийскую систему к 8–9 вв. вместе с обозначениями деванагари (см. таблицу обозначений чисел). В индийской системе число 6789 записывалось бы как . Здесь мы впервые встречаемся с элементами современной системы счисления: индийская система была десятичной, цифровой и позиционной. При желании можно даже усмотреть некоторое сходство в начертании современных цифр и цифр деванагари.

Напомним, что позиционная система счисления с нулем возникла не в Индии, поскольку за много веков до этого она использовалась в Древнем Вавилоне в связи с шестидесятиричной системой. Поскольку индийские астрономы использовали шестидесятиричные дроби, вполне возможно, что это навело их на мысль перенести позиционный принцип с шестидесятиричных дробей на целые числа, записанные в десятичной системе. В итоге произошел сдвиг, приведший к современной системе счисления. Не исключена также возможность, что такой переход, по крайней мере отчасти, произошел в Греции, скорее всего в Александрии, и оттуда распространился в Индию. В пользу последнего предположения свидетельствует сходство кружка, обозначающего нуль, с начертанием греческой буквы омикрон. Однако происхождение индийского символа для нуля окутано тайной, так как первое достоверное свидетельство его появления в Индии датируется лишь концом 9 в. Как ни странно, ни греки, ни индийцы не включили в свои системы счисления десятичные дроби, но именно индийцам мы обязаны современной системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем (но без горизонтальной черты, отделяющей числитель от знаменателя).

Аравия.

Современную систему обозначения чисел часто называют арабской, хотя ясно, что она берет начало не из Аравии. До хиджры арабы записывали числа словами, но затем, как это делали ранее греки, они стали обозначать числа буквами своего алфавита. В 772 индийский трактат «Сидданта» был привезен в Багдад и переведен на арабский, после чего стали использоваться две системы записи чисел: (1) в астрономии по-прежнему употребляли алфавитную систему, (2) в торговых расчетах купцы стали применять систему, заимствованную из Индии. Но даже среди тех, кто пользовался индийской системой, начертания цифр, как и в Индии, сильно варьировали. Эти две системы счисления были широко распространены и после распада арабского халифата. В его восточной части пользовались системой, аналогичной той, которая и сейчас встречается в арабском мире. Число 6789 в этой системе записывается как . Однако обозначения чисел в Испании 10 в. настолько сильно отличались по своим начертаниям от приведенных выше, что казались никак с ними не связанными. В испанских обозначениях, получивших название «гобар» или «песчаных», число 6789 выглядело бы так: . Свое название эти обозначения получили потому, что ими пользовались при вычислениях на «песчаном абаке». Как свидетельствует Бируни, индийцы часто производили вычисления на песке, что, возможно, и послужило поводом для такого названия. Тем не менее само происхождение этих цифр, от которых в свою очередь произошли наши современные цифры, остается неизвестным.

Западная Европа.

Первым европейским ученым, о котором достоверно известно, что он ввел в употребление в Европе арабские цифры, был Герберт, работавший в Испании и позднее (в 999-м) ставший папой Сильвестром II. В 12 в. Хуан из Севильи перевел на латынь трактат De numero indorum (Об индийских числах) арабского математика Аль-Хорезми. Когда в следующем веке индийские обозначения стали широко известными, новая система получила название алгоритм – от искаженного Аль-Хорезми. Через пару столетий европейские алгоритмики одержали верх и над абацистами, и над теми, кто пользовался римскими цифрами в вычислениях с целыми числами, но лишь с 1585 индо-арабская система обозначений, систематически расширяясь, стала использоваться и применительно к дробям. В том же году Симон Стевин опубликовал свой небольшой трактат De Thiende (Десятина), в котором он предложил записывать в виде  или  число, которое мы записали бы как 6789. В 17 в. вошла в употребление десятичная запятая (или точка), которой стали отделять целую часть числа от дробной, после чего европейцы отказались от предложенной Стевином индексации разрядов. После этих изменений развитие современной системы счисления завершилось. (Это отнюдь не означает, будто была достигнута полная стандартизация в названиях или обозначениях чисел. В Америке и Франции биллион означает тысячу миллионов, а в Англии и Германии – миллион миллионов; в континентальной Европе часто используется десятичная запятая, а в англосаксонских странах предпочитают ставить десятичную точку; англосаксы используют запятые, чтобы отделять степени тысячи, в некоторых странах для этой цели служит точка.)

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА

В последние годы в области прикладной математики, особенно в компьютерах, очень важное значение приобрела двоичная система счисления.

В то время как система счисления с основанием 10 требует десяти цифр (включая нуль), для двоичной арифметики необходимо всего два символа – 0 и 1.

Таблица: Десятичная система — Двоичная система

Десятичная система	Двоичная система	Десятичная система	Двоичная система
0	0	9	1001
1	1	10	1010
2	10	11	1011
3	11	12	1100
4	100	13	1101
5	101	14	1110
6	110	15	1111
7	111	16	10000
8	1000

В двоичной системе число 6789 записывается в виде 1101010000101, т.е. как

Переход от десятичной записи к двоичной осуществляется легко: десятичное число делится на два, затем на два делится частное, затем – новое частное и так до тех пор, пока не будет получено последнее частное (равное 1), причем каждый раз записывается остаток от деления. Выписав последнее частное (1) и вслед за ним в обратном порядке все остатки от деления исходного числа на два, мы получим двоичный эквивалент исходного числа. Чтобы записать двоичное число в десятичной системе, необходимо обратить процедуру: умножить первую цифру слева на 2, к полученному результату прибавить вторую цифру слева, полученную сумму прибавить к третьей цифре слева и т.д. до тех пор, пока мы не прибавим последнюю (самую правую) цифру двоичного числа.

Двоичной системой счисления пользовался в начале 17 в. Т.Харриот. Позднее Г.Лейбниц обратил на двоичную систему внимание миссионеров, отправлявшихся для проповеди христианства в Китай в надежде убедить китайского императора в том, что Бог (единица) сотворил все из ничего (нуля). Однако вплоть до 20 в. двоичную систему рассматривали как своего рода математический курьез, и время от времени раздавались предложения перейти от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатиричной, но отнюдь не двоичной системе.

Однако именно в двоичной системе арифметические операции особенно просты. В двоичной системе не существует «таблицы сложения», которую нужно бы было запоминать, так как «перенос в старший разряд» начинается с 1 + 1 = 10. При сложении больших чисел необходимо лишь складывать по столбцам или разрядам, как в десятичной системе, памятуя лишь о том, что как только сумма в столбце достигает числа 2, двойка переносится в следующий столбец (влево) в виде единицы старшего разряда. Вычитание производится так же, как в десятичной системе, не задумываясь о том, что теперь в случае необходимости нужно «занимать» из столбца слева 2, а не 10.

В двоичной таблице умножения единственный результат, отличный от нуля, соответствует 1 x 1 = 1. Каких-нибудь других «табличных» произведений, требующих запоминания, не существует, так как любое целое число больше единицы в двоичной системе по крайней мере «двузначно». Умножение «столбиком» выполняется без труда, так как необходимость в «переносе в старший разряд» отпадает за исключением сложения частичных произведений при получении окончательного ответа. Однако за эту легкость приходится «платить» большим числом знаков при умножении даже небольших чисел.

Деление «углом» в двоичной системе выполняется быстро, при этом нет необходимости в пробных делителях. По существу, деление становится своего рода непрерывным вычитанием, которое отличается необычайной «прозрачностью».

В компьютерах двоичная система особенно удобна тем, что двоичные цифры соответствуют тому, что электронная система может находиться лишь в одном из двух состояний – либо «выключено» (цепь разомкнута, двоичная цифра 0), либо «включено» (цепь замкнута, двоичная цифра 1). Числа, записанные в двоичной системе, требуют большего числа знаков, чем их аналоги в десятичной системе, но при проектировании компьютеров, предназначенных для работы с числами, не превышающими 10 миллионов, оказалось, что легче оперировать с 24-разрядными двоичными числами (т.е. 24 реле или переключателя типа «вкл.» – «выкл.»), чем с семизначными десятичными числами (реле или переключателями, которые могут находиться в 10 состояниях). И в двоичной, и в десятичной системе суть состоит в позиционном принципе записи чисел, поэтому ясно, что современные суперкомпьютеры стали возможны благодаря тому, что четыре тысячи лет назад в Месопотамии было совершено важнейшее открытие в области обозначения чисел (см. также КОМПЬЮТЕР).

ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ И ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Хотя десятичная система счисления является наиболее широко применимой, это отнюдь не означает, что она самая лучшая. Широкое распространение во многом объясняется тем анатомическим обстоятельством, что у нас на руках и ногах по десять пальцев. Что же касается позиционного принципа и цифровых обозначений, то они с равным успехом могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, независимо от того, равно ли оно 2, 10 или какому-нибудь другому целому положительному числу, кроме единицы. Например, подставив в полиномиальное представление 7x² + 6x¹ + 5x⁰ + 4x^–1 + 3^–2 вместо x значение 10, мы получим число 765,43 в нашей обычной десятичной системе. Но без малейшего ущерба для позиционного принципа обозначения целых чисел и дробей вместо x можно подставить и любое другое целое положительное число. Вместо числа 10 в качестве основания системы счисления чаще других предлагалось использовать числа 8 и 12. Системы, получающиеся при таких заменах, известны под названием восьмеричной и двенадцатиричной. В восьмеричной системе вместо переменной x в полиномиальном представлении следует подставить 8, и тогда число, равное в десятичной системе 765,43, в восьмеричной системе окажется равным (8²) + 6(8¹) + 5(8⁰) + 4(8^–1) + 3(8^–2), т.е. числу . В двенадцатиричной системе то же самое полиномиальное представление при x = 12 дает (12²) + 6(12¹) + 5(12⁰) + 4(12^–1) + 3(12^–2), или в наших обычных обозначениях . Что касается вычислений, то они во всех трех системах счисления, десятичной, восьмеричной и двенадцатиричной, производятся практически одинаково и с одной и той же легкостью. Различие в основном заключается в таблицах сложения и умножения, поскольку они изменяются от одной системы счисления к другой. Например, сумма семь плюс семь равна сумме восемь плюс шесть в восьмеричной системе, десять плюс четыре – в десятичной и двенадцать плюс два – в двенадцатиричной. Символически эти суммы и произведения можно записать следующим образом:

Мы видим, что переход от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатиричной действительно требует полного пересмотра таблиц сложения и умножения; это объясняет, почему предложения о переходе к этим системам счисления не получили широкого признания. Преимущества, которые сулит этот переход, сводятся на нет сопряженными с ним трудностями. Главные преимущества восьмеричной и двенадцатиричной систем счисления связаны с делимостью их оснований. Рассматривая только целые числа, меньшие половины основания (поскольку ни одно число не может быть делителем основания, если это число больше половины основания, но меньше его), нетрудно понять, что число 10 имеет два неделителя – числа 3 и 4, тогда как в восьмеричной системе единственный неделитель, меньший половины основания, есть число 3, а в двенадцатиричной системе единственный неделитель основания равен числу 5. Иначе говоря, преимущество числа 12 как основания системы счисления заключается в том, что оно имеет делителями числа 2, 3, 4 и 6, тогда как число 10 имеет делителями числа 2 и 5. Число 8 имеет делителями только числа 2 и 4, однако его основное преимущество перед другими в том, что непрерывное деление пополам неизменно приводит к «одноместному» дробному представлению в полиномиальной форме. Например, если 8 разделить на 2¹⁰, то результат окажется в точности равным ^(0,004)₈, тогда как если 12 разделить на 2¹⁰, то получится (приближенно) (0,0183)₁₂, а при делении на 2¹⁰ числа 10 результат (также приближенный) будет равным (0,0097656)₁₀.

В метрологии большое значение имеет факторизуемость (разложимость на множители) числа, вот почему 8 и 12 играют столь заметную роль в неметрических системах весов и мер. На американских фондовых биржах дроби обычно выражают в восьмых долях, а время делится на 12 и существенно использует деление единиц на 60 частей. Особая роль числа 60 в наших измерениях времени и углов связана с тем, что около четырех тысяч лет назад древние вавилоняне осознали, что число 60 имеет много делителей, и выбрали его не только за основу своих весов и мер, но и своей системы счисления. Позиционный принцип вошел в обиход в связи с шестидесятиричной, а не десятичной системой. Но основание 60 обладает одним серьезным недостатком: оно слишком велико для того, чтобы его можно было использовать в современной цифровой полиномиальной форме, т.к. для этого потребовалось бы 60 различных символов, которые обозначали бы первые шестьдесят неотрицательных целых чисел. Кроме того, таблицы сложения и умножения включали бы числа от 1 до 59, что потребовало бы чрезмерно большой нагрузки на память. Этим же недостатком обладает и любое другое основание большее 12, поэтому двенадцатиричная система является наибольшим практически возможным основанием. Сама двенадцатиричная система требует введения двух новых цифр – для обозначения чисел 10 и 11. Для этой цели были предложены буквы t и e. Преимущество двоичной системы в том, что для нее необходимо всего лишь две цифры, но она располагается на другом конце шкалы относительно шестидесятиричной системы, для большинства практических целей основание ее слишком мало и поэтому число знаков при записи чисел в двоичной системе оказывается слишком большим. (См. предыдущий раздел.) Числа 8, 10 и 12 очень близки к оптимальной величине основания системы счисления, и вычисления в восьмеричной, десятичной и двенадцатиричной системах выполняются сравнительно легко.

Аргументы в пользу двенадцатиричной системы счисления не следует путать с аргументами в защиту двенадцатиричной монетарной и метрологической систем. Уже вавилоняне прекрасно понимали желательность согласованности системы счисления и метрологической системы. Однако продолжительное использование десятичной системы вместе с двенадцатиричными и шестидесятидесятиричными единицами измерения затушевало проблему их несогласованности. Более того, возникла тенденция преувеличивать те трудности, которые могла бы породить любая попытка их унифицировать. Внутренняя согласованность, по-видимому, играет более важную роль, чем любой выбор единого основания систем, будь то 8, 10 или 12. Во времена Великой французской революции, на заседаниях Революционной комиссии по весам и мерам, высказывались мнения о введения двенадцатиричных систем мер и весов, но окончательное решение склонилось в пользу унификации мер и весов на основе десятичной системы счисления. Результатом такого решения стала метрическая система, получившая ныне почти всеобщее признание.

В тех случаях, когда вместе с десятичной системой счисления параллельно используются двенадцатиричные и другие единицы измерения, неизбежно возникает непростая задача перевода из одной системы единиц в другую.

Следует иметь в виду, что трудности перехода от одной системы счисления к другой не имеют никакого отношения к преимуществам или недостаткам выполнения арифметических операций целиком в рамках одной системы, будь то восьмеричная, десятичная или двенадцатиричная система. Десятичная система не может не признать небольших преимуществ двух других систем: восьмеричная система имеет меньшие по объему таблицы сложения и умножения и особенно хорошо приспособлена к делению на 2, а двенадцатиричная удобнее для выполнения операции деления и представления простых дробей. Достаточны ли эти преимущества для того, чтобы настаивать на придании универсального характера той или иной системе счисления, – вопрос достаточно спорный, однако основанное в 1944 Двенадцатиричное общество Америки стало центром, объединяющим активную деятельность тех, кто хотел бы, чтобы число 12 играло столь же важную роль, какую во многих цивилизациях на протяжении прошлых полдюжины тысячелетий играло число 10.

Объясняя дроби: связи и закономерности среди концепций дробей — Профессиональное обучение учителей | Грамотность, математика

Стенограмма видео

Мы собираемся посмотреть на связи между понятиями дроби. Две концепции, которые я хочу здесь рассмотреть, — это построение дробей из единичных дробей и закономерности деления дробей. Итак, строим дроби из единичных дробей. Ну, единичные дроби — это строительный блок как для составления, так и для разложения дробей.

Вспомните, что дроби единицы — это дроби с числителем, равным единице, поэтому, какой бы знаменатель ни был… И вспомните, как я уже сказал ранее, знаменатель сообщает нам размер единицы, дробь, представляет одну из этих единиц.Концепция построения количества из одной единицы началась с целых чисел, где мы строим из единиц.

Теперь предположим, что у нас есть восьмой. Итак, есть восьмой. Используя итерацию, я могу создать больше копий этой восьмой, а мы можем построить три восьмых. Что ж, что касается дробей, мы хотим, чтобы учащиеся видели, что для них важно видеть, что три восьмых — это на самом деле три восьмых. И учащиеся, которые это понимают, могут разложить дроби на части, представляющие одну и ту же сумму, потому что теперь они могут видеть, о, я мог бы сделать три и эти восьмые, плюс восьмую, плюс восьмую.И я мог бы написать это по-другому. Это то же самое, что восьмая плюс две восьмых.

Это действительно важно, потому что при этом переходят к дробям больше единицы. Итак, предположим, у нас есть одиннадцать восьмых. Теперь мы можем сказать: «Ну, я могу разложить это на восемь восьмых и три восьмых». И это будет то же самое, что и один плюс три восьмых, поэтому одиннадцать восьмых — это то же самое, что один из трех восьмых.

А теперь выкройки с делением. Это еще одна тема, которую я хотел затронуть.Итак, юниты и то, как юниты играют важную роль. А теперь я хочу поговорить о паттернах с делением. Я должен сказать, что одно из моих любимых занятий с детьми в математике — это научить учеников искать и идентифицировать закономерности и обобщать эти закономерности. Я говорю не только о дробях. Я просто говорю в целом.

И если вы знаете свои стандарты математической практики, вы узнаете их как часть стандартных семи и восьми. Теперь деление на дроби, удивительное для большинства людей, на самом деле хорошо поддается этой идее поиска закономерностей, пока они не дойдут до алгоритма.Подход для начинающих на самом деле состоит в том, чтобы подтолкнуть студентов к стандартному алгоритму деления на дроби, инвертировать умножение, как вы знаете, — это использовать то, что студенты узнали ранее о делении с некоторыми основными дробями, для выявления закономерностей, чтобы их можно было обобщить.

Так что посмотрим. Там первая диаграмма, таблица слева, где мы разделили три на три. Ну, три на три, три делят на три, получится один. Три, разделенные на один, равно трем. Теперь три делятся пополам. Что ж, выигрыш, я мог бы вернуться к числовой строке и посчитать, сколько половинок в трех.Эти шестеро из них. Три делятся на треть. Я могу посчитать, сколько третей будет в тройке. Их будет девять человек. Сколько четверок в тройке, получается 12. Сколько пятых в тройке, опять же, я могу сосчитать их на числовой прямой: их 15, а сколько четвертей в четверке. Их 16.

Теперь я могу попросить студентов найти закономерность в ответах. Есть ли способ сделать это, не считая их каждый раз в числовой строке? И, надеюсь, с некоторыми указаниями, мы увидим, что, эй, я могу умножить дивиденд, это целое число, на знаменатель.Да, по знаменателю делителя.

Итак, если я умножу целое число на знаменатель, я получу ответ. Чтобы они могли написать для этого правило. Целое число раз знаменатель давал мне ответ. Итак, есть только самое начальное правило, с которого можно начать, всего лишь первый шаг. Затем мы смотрим на эту вторую, среднюю таблицу, и начинаем снова. Итак, теперь мы сделаем три, разделенные на четвертые. Мы видели, что это было уже 12 лет. Теперь три делятся на две четверти. Опять же, я могу перейти к числовой строке и посчитать, сколько двух четвертей в трех, и увидеть, что их шесть.

И разделив три на три четверти, я могу пойти и посчитать, сколько трех четвертей в трех, и увидеть, что их четыре. Я могу сделать это снова с шестью и посмотреть, хорошо, шесть, разделенные на одну четверть. Их 24. На две четверти их 12. На три четверти их восемь. И снова я его попросил, поищите здесь выкройку. Давайте построим этот шаблон, который мы видели в первой таблице, где мы умножили полученный дивиденд, это целое число на знаменатель. Что тогда происходит?

И мы начинаем видеть, о, когда мы разделили одну четверть на, это было 12.И это было две четверти, это было шесть. А потом было три четверти, было четыре. Вы начинаете видеть ту взаимосвязь, что мы берем этот ответ и делим его любым числителем. Итак, мы получаем новое правило. Целое число, умноженное на знаменатель, деленное на числитель, приближает нас еще на один шаг.

Посмотрите на третью таблицу. Три делятся на одну четверть. Опять же, 12. Теперь мы оставим одну четвертую такой же, делители те же. Вы продолжаете менять дивиденды. Три на два делятся на одну четверть.Опять же, я могу посмотреть на это на числовой строке и определить и точно подсчитать, сколько четвертей в трех половинах. Три четверти делятся на четверть. Я могу это сосчитать по числовой строке. Их трое. Три двенадцатые делятся на одну четвертую. Вот один из них.

Теперь поищем здесь закономерность. И снова, построение на том первом образце, который мы увидели. Берем те три, которые в каждом случае есть. Умножаем его на знаменатель, получаем 12. А затем делим эти 12 на знаменатель дивиденда.Так что студенты, как правило, могут это писать. Первый числитель умножается на второй знаменатель, деленный на первый знаменатель.

Ну, мы еще не закончили. Но студенты реально уже сейчас могут решить эту задачу. Что четыре пятых делится на одну восьмую. И главное здесь то, что мы начинаем собирать это вместе. Мы можем сложить эти две последние таблицы вместе и работать с детьми, чтобы добраться до алгоритма, поэтому все дроби мы просто инвертируем и умножаем, как хороший ярлык, чтобы добраться туда. Но они уже выполнили большую часть работы, увидели закономерность и поняли ее.

Стоит отметить, что современные материалы также предоставляют некоторые математические аргументы, свойства и диаграммы, которые помогают показать, как алгоритм дробного деления может быть получен через свойства с использованием как дробного, так и измерительного деления. На мой взгляд, эти методы довольно сложны, и я обнаружил, что они трудны для понимания учителей и учеников. Тем не менее, они предоставляют достоверное математически структурированное обоснование для алгоритма обратного умножения.

Я не возражаю против тех или иных подходов.Я просто показываю, что такое подход шаблонов. Не то чтобы это единственный подход, который я использую, не единственный подход, который я использую. Я имею в виду, что это не единственное, что я делаю с дробями. И приятно, когда учащиеся начинают строить этот алгоритм, выявляя закономерности, а студенты-математики создают математические правила для наблюдаемых закономерностей и помогают студентам обобщать эту математику.

Конечно, есть еще множество инструкций учителя, которые по-прежнему важны, чтобы донести суть дела до конца и [неразборчиво] то, что ученики замечают и описывают в алгоритме окончательного разделения.Но мне нравится, как он основан на том, что учащиеся научатся разбираться в математике. И это, на мой взгляд, инструкция, которую учителя одновременно и изучают, и обрабатывают для достижения настоящего математического мастерства.

границ | Взаимодействие между смещением натуральных чисел и обработкой дробных величин у учащихся с низкими успеваемостями

Введение

Множество исследований показали, что многие учащиеся борются с усвоением рациональных чисел, особенно дробей (напр.г., Behr et al., 1983; Siegler et al., 2011; Lortie-Forgues et al., 2015). Две основные трудности, по-видимому, заключаются в том, что студенты (1) недостаточно способны понимать и обрабатывать величины дробей и (2) полагаются на принципы натуральных чисел при рассуждении о рациональных числах, вызывая смещение Natural Number (см. Ni and Zhou, 2005 и см. раздел «Смещение натуральных чисел как источник индивидуальных ошибок при решении задач дроби»). Хотя обе трудности обсуждались в литературе, все еще мало свидетельств о связи между ними.Более того, в большинстве предыдущих исследований для изучения трудностей учащихся использовался анализ всей выборки, в то время как исследования индивидуальных профилей учащихся немногочисленны (но см. Rinne et al., 2017; Gómez and Dartnell, 2019; González-Forte et al., 2019 ). Другая проблема заключается в том, что задачи, которые использовались для оценки величины дроби, часто позволяют использовать альтернативные стратегии (например, задачу оценки числовой линии), которые могут требовать не только обработки величины дроби, либо вместо этого они фактически требуют обработки величин двух дробей. одной фракции (например,g., задача сравнения дробей). Наконец, на выполнение задачи с дробной величиной может повлиять наличие смещения натурального числа. Настоящее исследование оценивает индивидуальные профили студентов (то есть подгруппы студентов) смещения натуральных чисел и исследует, как эти профили связаны со способностью студентов обрабатывать величину дробной части.

Смещение натурального числа как источник индивидуальных ошибок при решении задач дроби

Прежде чем ученики начнут изучать рациональные числа и дроби, они приобрели глубокие знания о натуральных числах как в неформальном контексте, так и в школьном контексте.Хотя натуральные числа — с формальной математической точки зрения — являются подмножеством рациональных чисел, есть несколько свойств, которые применяются в области натуральных чисел, но не в более общей области рациональных чисел. Соответственно, использование свойств, которые применяются в натуральных числах, но не на рациональных числах, при решении задач дроби может привести к систематическим ошибкам, явлению, которое было названо смещением натурального числа (NNB, также называемым смещением целого числа; см. Ni и Чжоу, 2005).Исследователи изучили NNB в различных измерениях, включая измерения представления, работы, плотности и размера (для обзора см., Например, Prediger, 2008; Van Hoof et al., 2015, 2018; Obersteiner et al., 2019a, c): например, каждое натуральное число имеет уникальное символическое представление , в то время как каждое рациональное число имеет бесконечно много символических представлений (например, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 0,5 и т. Д.). Пример относительно операции заключается в том, что, хотя умножение натуральных чисел всегда увеличивает число, это обычно неверно для рациональных чисел.Что касается плотности , хотя между любыми двумя натуральными числами существует только бесконечно много чисел, и каждое натуральное число имеет уникальных предшественников и последователей, между любыми двумя рациональными числами бесконечно много чисел, а у рациональных чисел нет предшественников или последователей.

В этом исследовании мы сосредотачиваемся на размерности размера или величине звездной величины . Обработка числовой величины натурального числа довольно проста, учитывая десятичную систему, и задачи сравнения могут быть решены с помощью стратегий сравнения цифр.Например, 36 больше 28, потому что 3 (десятки) больше 2 (десятки). Напротив, обработка числовой величины дроби требует рассуждений о числовой связи между двумя натуральными числами и рассмотрения этой связи как другого (рационального) числа. Сравнение двух дробей требует сравнения двух таких отношений и рассмотрения каждой дроби как одного (целостного) числа, а не рассмотрения числителя и знаменателя как двух различных чисел. Более того, эти сравнения могут быть нелогичными, потому что дробь с большими натуральными числами не обязательно является дробью большего размера (например.g., 7/8> 2/3), но также может быть меньшая фракция (например, 3/5 <2/3). Сравнивая две дроби, учащиеся часто полагаются на простое сравнение компонентов натуральных чисел - числителей и знаменателей - и не принимают во внимание действительные величины дробей. Такое рассуждение, основанное на натуральных числах, привело бы к правильным ответам в задачах, которые являются «конгруэнтными» (то есть, в которых большая часть состоит из больших натуральных чисел), и к неправильным ответам в задачах, которые являются «несовместимыми» (т.е., в котором большая дробь состоит из меньших натуральных чисел). Многие исследования показали, что люди действительно точнее (например, Vamvakoussi and Vosniadou, 2004) и / или быстрее (например, Van Hoof et al., 2013) решают конгруэнтные дробные задачи, чем неконгруэнтные. Этот ННБ в дробном сравнении кажется очень стойким. Это было зарегистрировано у студентов младшего и старшего возраста (например, Van Hoof et al., 2018), а также у студентов колледжей (например, DeWolf and Vosniadou, 2011), студентов университетов (Gómez et al., 2017) и - в некоторых типах задач - даже в академических математиках (Obersteiner et al., 2013).

В большинстве более ранних исследований NNB оценивался как средняя разница в производительности между конгруэнтными и неконгруэнтными проблемами по всей выборке. Такой анализ может замаскировать индивидуальные профили, которые могут отличаться от модели производительности, обнаруженной на групповом уровне. Фактически, исследования, в которых действительно использовался личностно-ориентированный подход, выявили индивидуальные различия в моделях предвзятости (Rinne et al., 2017; Гомес и Дартнелл, 2019; González-Forte et al., 2019): в то время как довольно большое количество студентов показало сильный типичный NNB , т. Е. Лучшую успеваемость по конгруэнтным заданиям, чем по неконгруэнтным (Gómez and Dartnell, 2019), другие студенты показали без NNB или даже обратный NNB , то есть лучшая производительность в неконгруэнтных элементах сравнения, чем конгруэнтные элементы сравнения. Студенты, показывающие обратную NNB, по-видимому, считают фракции с меньшими компонентами большей дробью.Интерпретация этой модели состоит в том, что у этих студентов есть частичное — но все еще неполное — понимание величины дроби. Как отмечает Rinne et al. (2017, стр. 14), эти студенты могут «осознавать, что большие числа могут каким-то образом приводить к меньшим величинам дроби, но они не полностью понимают взаимосвязь между числителем и знаменателем».

González-Forte et al. (2019) показали, что профили, полученные на основе показателей точности и времени ответа (как сообщалось в исследованиях выше), в значительной степени соответствовали устным объяснениям студентов, которые они давали в интервью, когда их просили сравнить дроби.Это говорит о том, что количественные статистические подходы, ориентированные на человека, также могут быть подходящими для характеристики рассуждений отдельных учащихся.

Хотя упомянутые выше исследования выявили индивидуальные различия в профилях NNB, Rinne et al. (2017) изучили, как эти профили развиваются у людей с течением времени. В своем лонгитюдном исследовании они обнаружили, что некоторые ученики изменили свои модели предубеждений между четвертым и шестым классами. Большинство студентов перешли от типичного NNB либо к обратному NNB, либо к нормативному, правильному рассуждению.Авторы предполагают, что паттерны NNB — типичный и обратный — могут быть обычными шагами в рамках траектории обучения от натуральных чисел к понятиям дробей.

В целом, личностно-ориентированные подходы необходимы для выявления значимых индивидуальных различий в паттернах NNB. Связанный — и все еще открытый — вопрос заключается в том, в какой степени учащиеся с разными моделями предвзятости также различаются с точки зрения обработки величины.

Оценка обработки дробных величин

Есть несколько способов интерпретировать значение дроби, например, как отношение, часть целого, деление или измерение (например,г., Behr et al., 1983). Величина дроби относится к аспекту, в котором дробь представляет одно числовое значение . Чтобы оценить, могут ли люди активировать величину дроби, исследователи попытались использовать задачи, которые действительно требуют обработки величины дроби. Двумя часто используемыми задачами являются сравнение величины символической дроби и оценка числовой линии (например, Schneider and Siegler, 2010; Schneider et al., 2018a). Было обнаружено, что выполнение обеих этих задач коррелирует с математической компетентностью (Schneider et al., 2018b, см. Также Schneider et al., 2018a для подробного обзора числовой прямой оценки дробей и Schneider et al., 2017 для подробного обзора обработки числовой величины). Тем не менее, насколько нам известно, исследования, сравнивающие эффективность между сравнением символической величины и оценкой числовой линии относительно дробей , немногочисленны (Schneider et al., 2018b; но см. Hamdan and Gunderson, 2017, где приведены доказательства перехода между обучением числовой линии и задача сравнения фракций, предполагающая, что существует связь между обеими задачами на уровне всей популяции).

В первой часто используемой задаче для оценки обработки величины дроби — символьном сравнении дробей — людей просят решить, какая из двух дробей представляет большее число. Эффект расстояния — это эффект, заключающийся в том, что чем меньше численное расстояние между двумя сравниваемыми фракциями, тем сложнее элемент. Размер этого эффекта часто используется в качестве показателя обработки величины (см. Schneider et al., 2017). Существуют эмпирические доказательства того, что такой эффект расстояния может присутствовать как в отношении точности (например,g., Sprute and Temple, 2011) и времени отклика (например, Meert et al., 2010). Однако эмпирических данных о наличии эффекта расстояния у студентов, показывающих NNB, пока нет. При использовании символьного сравнения дробей для оценки обработки величины дроби следует учитывать следующие вопросы.

Поскольку задача сравнения включает в себя две фракции по замыслу, использование определенных стратегий сравнения, таких как сравнительный анализ , может снизить вероятность возникновения эффекта расстояния.Бенчмаркинг относится к использованию переходного мышления для сравнения двух представляющих интерес фракций с третьим числом (Post et al., 1986; Clarke and Roche, 2009). При сравнении размера одной правильной дроби (тех, которые меньше 1, например, 8/9) и одной неправильной дроби (тех, которые больше единицы, например, 7/6), можно легко сравнить обе дроби с 1 (т. Е. Использовать переходный бенчмаркинг к 1 стратегии), просто отмечая, больше ли числитель или знаменатель соответствующей дроби, вместо прямого сравнения двух величин дробей.Хотя такая стратегия в некоторой степени полагается на обработку величины дроби (т. Е. Замечает, что дроби меньше или больше 1), элементы сравнения, которые позволяют проводить сравнительный анализ до 1, вероятно, легче решить независимо от расстояния между двумя дробями. Таким образом, участники, применяющие такой сравнительный анализ к 1 стратегии, могут полагаться на обработку дробных величин и все же не показывать эффект расстояния.

Кроме того, предположение, что учащиеся активируют величины дробей в задачах сравнения дробей, может не выполняться для задач сравнения с общими компонентами (например,g., 5/8 против 3/8 или 4/9 против 4/7). В этих задачах студенты могут скорее полагаться на обработку натуральных числовых величин необычных компонентов (Obersteiner and Tumpek, 2016). Это возможное отсутствие обработки дробных величин в заданиях с общими компонентами может играть важную роль в различении моделей ответов учащихся при сравнении дробей с и без общих компонентов : например, Gómez and Dartnell (2019) обнаружили, что есть студенты, которые демонстрируют стойкий типичный NNB при сравнении дробей с общими компонентами (например,g., 4/15 против 4/6), но без NNB при сравнении фракций без общих компонентов (например, 5/6 против 8/19). Таким образом, можно утверждать, что эти студенты обрабатывают величину дроби только тогда, когда дроби не имеют общих компонентов. Это говорит о том, что обработка величины дроби при сравнении символических дробей может зависеть от конкретных характеристик проблемы (см. Obersteiner et al., 2020).

Наиболее важным для настоящего исследования кажется возможным, что студенты, демонстрирующие стойкую NNB, могут не использовать обработку величины дроби при сравнении двух дробей , поскольку они не рассматривают дроби как целостные символы, а как отдельные числа в конкретной задаче символической величины. сравнение.Это делает оценку обработки величины дроби у студентов, которые демонстрируют стойкую (типичную или обратную) NNB, особой проблемой: у этих студентов отсутствие эффекта расстояния в задаче сравнения дробей может указывать на то, что они не обрабатывают величину дроби при сравнении двух фракций , но это не дает ответа на вопрос, в какой степени они вообще способны обрабатывать величины отдельных фракций . Оценка степени обработки дробной величины у студентов с различными паттернами NNB (т.е., типичный или обратный) имеет значение, поскольку исследование Rinne et al. (2017) предполагает, что паттерны NNB могут идти рука об руку с качественно разными уровнями понимания величин фракций. Таким образом, необходимы различные подходы для оценки потенциально постепенных различий в обработке дробных величин у студентов с низким уровнем успеваемости, которые демонстрируют NNB (типичный или обратный). Это мотивирует использование задач, направленных на обработку величин отдельных фракций.

Вторая часто используемая задача для оценки обработки величины дроби — это оценка числовой линии.В этом задании участников просят поместить дроби в пустую числовую строку, где отмечены только начальная и конечная точки, но не другие числа. Соответственно, оценка числовой линии требует оценки обработки величины по одной единичной дроби за раз. Соответствующим показателем является процентная абсолютная ошибка, которая представляет собой отклонение между предполагаемым положением ученика и правильным положением данной дроби, деленное на длину числовой линии (см. Schneider et al., 2018а).

Хотя задачи оценки числовой линии часто использовались в исследованиях, некоторые исследователи утверждали, что эта задача также не может быть чистой мерой величины дроби. Одна из причин заключается в том, что задачи оценки числовой линии могут быть решены путем деления числовой линии и подсчета полученных частей, стратегия, которая не основана непосредственно на величине дроби (т. Е. «Дроби как меры», см. Kieren, 1976; Novillis-Larson, 1980; Bright et al., 1988; также называется «линейной сегментацией», см. Schneider et al., 2018б). Другая причина заключается в том, что можно использовать такие стратегии, как округление, подсчет или пропорциональное рассуждение (Jeong et al., 2007; Boyer et al., 2008; Boyer and Levine, 2015). С другой стороны, можно утверждать, что эти последние стратегии также в некоторой степени требуют обработки дробной величины (Schneider et al., 2018a).

Некоторые из этих проблем можно преодолеть с помощью различных визуальных представлений, которые более интуитивно понятны и менее формальны, чем числовые линии, например круговых и ленточных диаграмм (например.г., Каррахер, 1993). Такие визуальные представления могут использоваться в непрерывной или дискретной форме. Непрерывные представления — это диаграммы без заданного разбиения (например, непрерывная круговая или ленточная диаграмма, Hoch et al., 2018b; см. Также Jeong et al., 2007; Boyer et al., 2008; Boyer and Levine, 2015; DeWolf et al. , 2015). Дискретные представления «подразделяются на единицы равного размера… для того, чтобы сделать их измеримыми путем подсчета» (DeWolf et al., 2015, стр. 128). Дискретные представления не подходят для оценки обработки величины дроби, потому что они с большей вероятностью активируют схемы подсчета и побуждают людей «игнорировать перцептивное отношение соответствующих величин» (Jeong et al., 2007, стр. 238). Таким образом, они могут отвлекать людей от обработки величины фракции (DeWolf et al., 2015). С другой стороны, непрерывные диаграммы не позволяют производить подсчет (Jeong et al., 2007; Boyer et al., 2008; Boyer and Levine, 2015) — потому что здесь нет счетных частей — и могут заставить студентов полагаться более решительно. по величине дроби. Визуальные представления могут быть представлены в динамических форматах , например, на устройствах с сенсорным экраном (Reinhold et al., 2020; см. Также Boyer et al., 2008), который позволяет учащимся отвечать жестами (т. Е. Перетаскивать мышью, см. Раздел «Задание на оценку величины»). По сравнению с оценкой на бумаге и карандаше, устройства с сенсорным экраном могут препятствовать использованию учащимися процедурных стратегий «часть-целое» (например, вычисление угла сегмента на круговой диаграмме или добавление вспомогательных линий к представлению), которые не зависят от обработки дробных величин ( Райнхольд, 2019).

Настоящее исследование

В этом исследовании мы используем ориентированный на человека подход для сравнения производительности между (1) задачей сравнения символических дробей и (2) оценками величин отдельных дробей.

Мы исследуем отдельные профили NNB и взаимодействие между NNB и обработкой дробных величин. Поскольку оценка постепенной обработки различных дробных величин у студентов, демонстрирующих устойчивый NNB, может быть особой проблемой (см. Раздел «Оценка обработки дробных величин»), и ни одна из этих часто используемых задач не должна рассматриваться как чистая мера обработки величин (Schneider et al. al., 2018b), мы выбрали исследовательский подход, включающий два разных типа оценки.

Исследование преследует две конкретные цели. Первая цель — воспроизвести отдельные профили NNB в сравнении символьных фракций (типичное смещение, обратное смещение, отсутствие смещения; Rinne et al., 2017; см. Также Gómez and Dartnell, 2019; González-Forte et al., 2019) в низком -успевающие ученики вскоре после того, как их познакомили с фракциями в школе. Мы ожидаем найти кластеры с типичным NNB, с обратным NNB и без NNB. Мы также исследуем взаимосвязь между профилями NNB отдельных студентов и обработкой дробной величины, оцениваемой по эффекту расстояния.Мы ожидаем, что студенты без NNB вызовут эффект расстояния, а студенты с паттернами NNB не вызовут эффекта расстояния, потому что первые студенты будут лучше способны обрабатывать величины дробей, чем вторые. Вторая цель — изучить взаимосвязь между профилями NNB отдельных учащихся и их способностями к обработке дробных величин с использованием непрерывных диаграмм в динамической оценке на устройствах с сенсорным экраном. Мы ожидали найти различия в процентной абсолютной ошибке между различными профилями NNB, при этом студенты, не показавшие NNB, демонстрировали более низкий процент абсолютной ошибки.

Материалы и методы

Образец

Выборка состояла из N = 234 шестиклассников (42% девочек) из 16 классов восьми средних школ Германии. Это были школы типа Hauptschule , который является самым низким классом средней школы в немецкой школьной системе. Учащиеся этого школьного трека демонстрируют ниже средние результаты в конце начальной школы (т., 2013; Sälzer et al., 2013; Reinhold et al., 2020). Таким образом, мы ожидали найти паттерны NNB в нынешней выборке студентов с низкой успеваемостью. Данные были собраны в рамках исследовательского проекта ALICE: дроби (Hoch et al., 2018a; Reinhold et al., 2020), через 8 недель после того, как учащиеся впервые познакомились с величинами дробных величин в школе. Обратите внимание, что в соответствии с их учебной программой учащиеся были официально представлены дробям только в начале шестого класса.

Материал

Мы использовали две разные шкалы: задачу сравнения дробей, включающую конгруэнтные и неконгруэнтные пары дробей, и задачу оценки величины с непрерывными диаграммами.

Задача сравнения фракций

Для решения задач сравнения дробей ученики должны были выбрать большую из двух дробей, которые были представлены в символическом представлении (рис. 1). Поскольку мы ожидали, что учащиеся будут иметь довольно низкие навыки обращения с дробями, все дроби имели однозначные числители и однозначные знаменатели. Было девять заданий с конгруэнтными парными дробями и 11 заданиями с неконгруэнтными парами дробей (см. Раздел «Смещение натуральных чисел как источник индивидуальных ошибок при решении задач с дробями»).Достоверность точности как по конгруэнтной, так и по неконгруэнтной шкале сравнения была высокой (α _при Кронбаха = 0,87, 95% доверительный интервал [0,85,0,90], α _inc = 0,94, 95% доверительный интервал [0,92,0,95]). Пункты различались по расстоянию между двумя фракциями (таблица 1), но не было значительной разницы в среднем расстоянии между конгруэнтным ( M = 0,31, SD = 0,32) и неконгруэнтным ( M = 0,27, SD ). = 0,22) шт., т (13,88) = –0,30, р = 0.77. Как конгруэнтная, так и неконгруэнтная шкала содержали элементы, в которых либо обе дроби были правильными (например, 2/5 против 5/7), либо где одна дробь была правильной, а другая — неправильной (например, 2/3 против 5 / 4). Время отклика (RT) измерялось как время между отображением элемента на экране устройства с сенсорным экраном и выбором доли участником путем нажатия на экран. Надежность RT также была достаточно высокой (α _con = 0,82, 95% ДИ [0,79,0.86] и α _inc = 0,84, 95% ДИ [0,81,0,87]). Все позиции представлены в таблице 1.

Рисунок 1. Пример задачи сравнения дробей, отображаемой в среде цифровой оценки. Оригинал статьи на немецком языке, переведенный на английский язык для целей этой статьи.

Таблица 1. Элементы, используемые в задаче сравнения дробей.

Задача оценки величины

В задании по оценке величины учащиеся должны были отметить дробь на непрерывном визуальном представлении, которое представляло собой круг или ленточную диаграмму (в зависимости от задачи, см. Рисунок 2).Студенты должны перетащить цветной сегмент от 0 до желаемого значения в заданном представлении с помощью движения пальца. Всего было 16 дробей, и каждая дробь была представлена ​​в обоих форматах представления, в результате чего получилось 32 элемента (таблица 2). И порядок данной диаграммы, и порядок 16 фракций были рандомизированы для каждого студента. Мы измерили процентную абсолютную ошибку (PAE) как абсолютное отклонение от заданного значения и Response Time (RT) как время между отображением элемента и нажатием кнопки «ОК» после того, как обозначил дробь.

Рисунок 2. Пример задач оценки величины, отображаемых в среде цифровой оценки (вверху) круговая диаграмма; (внизу) ленточная диаграмма. Оригинал статьи на немецком языке, переведенный на английский язык для целей этой статьи.

Таблица 2. Элементы, используемые в задаче оценки величины.

Процедура

Ответственный местный орган управления образованием одобрил исследование. Директора школ, классные руководители, ученики и их родители были проинформированы о цели исследования и процедуре.Все они дали информированное согласие. Участие студентов было добровольным и безвозмездным.

Студентам были представлены все задания на 10,5-дюймовом iPad. Все вопросы приходилось решать с помощью сенсорного экрана с вводом пальцами. Сначала им была представлена ​​задача сравнения дробей, в которой они должны были отметить большую дробь, прикоснувшись к ней (рис. 1). После этого студентам были представлены задания на оценку величины (рис. 2), сначала с круговыми диаграммами, а затем с ленточной диаграммой или в обратном порядке (случайным образом).Порядок пунктов во всех трех оценках был случайным.

Для каждой задачи данные процесса (т.е. характеристики задачи, вклад учащегося и время ответа) были записаны и сохранены на iPad с помощью WebStorage.

Данные и статистический анализ

Поскольку поведение учащихся вне задания порождает выбросы, которые могут повлиять на результаты (Кованович и др., 2015), мы предварительно обработали данные о времени ответа (Голдхаммер и др., 2014; Хох и др., 2018a): время ответа, которое отклонялось больше чем два стандартных отклонения от среднего для соответствующего типа задачи (т.е., задача сравнения дробей и задача оценки величины) рассматривались как выбросы и были заменены этой границей (то есть двумя стандартными отклонениями выше или ниже среднего).

Для достижения первой цели данного исследования мы применили кластерный анализ к задачам сравнения дробей по трем параметрам: точность в неконгруэнтных задачах (ACC _inc ), точность в конгруэнтных задачах (ACC _con ) и среднее время отклика (RT). Поскольку время ответа между неконгруэнтными и конгруэнтными задачами на уровне учащихся существенно не различается, мы использовали комбинированную среднюю меру, чтобы уменьшить коллинеарность в кластерном анализе.Поскольку кластерный анализ чувствителен к выбросам, мы использовали логарифм RT и стандартизировали все три показателя перед кластеризацией. Мы использовали двухэтапный подход к кластеризации, используя иерархическую кластеризацию с методом Уорда для определения подходящего количества кластеров в соответствии с правилом большинства (Charrad et al., 2014). Затем кластеры были определены с помощью алгоритма k -means (Sharma, 1996; Backhaus et al., 2018). Затем мы использовали обобщенные линейные смешанные модели (GLMM) для оценки эффектов конгруэнтности, расстояния и типа элемента (т.е., одна фракция является неправильной по сравнению с обеими собственными дробями) от вероятности учащихся дать правильные ответы в задаче сравнения дробей для каждого кластера отдельно. В этом конкретном случае GLM-модели имеют несколько преимуществ перед другими статистическими методами (например, обработка несбалансированных планов, см. Brauer and Curtin, 2018, и обработка дихотомических данных, см. Anderson et al., 2010). Модели содержали фиксированные эффекты для переменных-предикторов Конгруэнтный (0 = неконгруэнтный и 1 = конгруэнтный), Расстояние (числовое значение, представляющее расстояние между двумя заданными дробями в элементе, центрированное на большом среднем) и Тип (0 = элемент содержит две правильные дроби, 1 = элемент содержит одну правильную и одну неправильную дроби).Модели допускали случайные перехваты для учеников , классных комнат (для учета вложенной структуры данных) и предметов . Мы даем оценки как логарифмические шансы, которые можно преобразовать в оценочные вероятности получения правильного ответа. Как следствие кодирования и центрирования, Intercepts описывают предполагаемую вероятность получения правильного ответа от среднего ученика в пределах кластера на неконгруэнтный элемент средней сложности, который состоит из двух правильных фракций со средним расстоянием.

Для достижения второй цели этого исследования мы сначала утвердили шкалы круговой и ленточной диаграмм как единую шкалу оценки, проведя подтверждающий факторный анализ. Во-вторых, мы сравнили результаты задачи оценки величины между студентами, принадлежащими к разным кластерам, используя как процентную абсолютную ошибку, так и время реакции в качестве единиц анализа. С этой целью мы использовали линейные смешанные модели (LMM) с результирующими кластерами в качестве фиксированного эффекта и случайными перехватами для студентов , фракций , Тип задачи (0 = круговая диаграмма; 1 = ленточная диаграмма; для учета для разных представлений) и Classrooms (для учета вложенной структуры данных).

Вся предварительная обработка и анализ данных проводились в R (R Core Team, 2008). Для кластерного анализа мы использовали пакет NbClust (Charrad et al., 2014) и пакет stats (R Core Team, 2008). Для подтверждающего факторного анализа мы использовали пакет lavaan (Rosseel, 2012). Для GLMM и LMM мы использовали пакет lme4 (Bates et al., 2015), а для вычисления post hoc Tuckey контрастов между кластерами мы использовали пакет multcomp (Hothorn et al., 2008).

Результаты

Выявление и проверка различных профилей учащихся в сравнении дробей

Нас интересовали индивидуальные анкеты ННБ. Кластерный анализ выявил три разных профиля. В общей сложности 12 из 23 правил остановки (среди них правило остановки Калински-Харабаса и график Силуэта) предлагали трехкластерную структуру, в то время как другие кластерные структуры предполагали только от одного до трех правил остановки. Поскольку учащиеся вложены в классы, связь между кластерами и классами представляет интерес для интерпретации результатов.Тест хи-квадрат показал значительную связь между кластерами и классами: X ² (30, N = 254) = 57,79, p <0,01. По этой причине мы разрешили случайный перехват Classroom во всех GLMM и LMM для учета вложенной структуры данных.

Мы описываем эти разные группы студентов с точки зрения их абсолютных значений на ACC _inc , ACC _con и RT. Чтобы проиллюстрировать описание, центры кластеров для трех типов студентов показаны в Таблице 3 и изображены на Рисунке 3.

Таблица 3. Центры кластеров для трех кластеров относительно сравнения фракций.

Рисунок 3. Центры кластера трех типов студентов, полученные в результате кластерного анализа 254 студентов на основе двух оценок решения и логарифмированного комбинированного среднего времени выполнения задания для ответов студентов в заданиях задачи сравнения долей.

Студенты из кластера Typical Bias показали высокую точность в совпадающих элементах ( M = 0.91) и низкая точность в неконгруэнтных элементах ( M = 0,07) (рисунок 3). Одновыборочные тесты t против μ = 0,5 показали, что оба показателя точности значительно отличаются от уровня случайности (таблица 3). В модели GLMM эффект совпадения был значительным, в то время как расстояние и типа не были значимыми (Таблица 4), предполагая, что студенты в этом кластере полагались на мышление натуральными числами и не обрабатывали дробные величины. По сравнению с общей выборкой студенты в этом кластере относительно быстро отвечали на задания (рисунок 3), предположительно потому, что они даже не пытались решать задачи сравнения символических дробей, обрабатывая величину дроби, а полагались исключительно на простые сравнения компонентов натуральных чисел. .

Таблица 4. Оценки параметров для обобщенных линейных смешанных моделей для получения правильного ответа в элементах в задаче сравнения долей, сообщаемых для каждого кластера отдельно.

Студенты в кластере с обратным смещением показали образец ответа, противоположный таковому в кластере с типичным смещением (рис. 3). Эти студенты продемонстрировали высокие и значительно более высокие показатели решения несовместимых заданий, M = 0.81, и довольно низкие и значительно ниже вероятности решения в конгруэнтных задачах, M = 0,21 (Таблица 3). Опять же, эффект соответствия был значительным, а эффекты расстояния или типа — нет (Таблица 4). В целом студенты в этом кластере также довольно быстро ответили (рис. 3). Результаты показывают, что эти студенты, возможно, уже развили частичное — но все еще неполное — понимание дробей и чрезмерно обобщили свои знания о том, что большие числа могут привести к меньшим дробям.

Студенты в кластере No Bias показали образец ответа, на который не повлиял NNB (рисунок 3). Эти студенты продемонстрировали средние, но значительно более высокие показатели решения как по неконгруэнтным задачам, M = 0,60, так и по конгруэнтным задачам, M = 0,64 (Таблица 3). GLMM показывает, что не было значительного влияния пункта на соответствие (таблица 4). В отличие от студентов из двух предвзятых кластеров, студенты из этого кластера продемонстрировали значительный эффект расстояния , при этом предполагаемая вероятность правильного ответа возрастала с увеличением расстояния между двумя фракциями (Таблица 4).Кроме того, значительный эффект имел тип с более высокой точностью для элементов, содержащих две правильные дроби, чем для элементов, содержащих одну правильную и одну неправильную дробь (Таблица 4). В среднем учащимся в этом кластере потребовалось в три раза больше времени, чем в обоих других кластерах, для решения вопросов сравнения (рис. 3), что может быть индикатором того, что эти учащиеся знали о когнитивной потребности сравнения дробей. Результаты показывают, что эти студенты начали развивать понимание величин дробей.

Ошибка и время отклика при оценке величины

Для следующего анализа нам пришлось исключить 20 студентов (то есть 7,9% выборки), потому что их данные по задаче оценки величины не были сохранены из-за проблемы с программным обеспечением. Мы не считаем, что это сокращение повлияло на результаты, потому что распределение оставшихся 234 студентов по трем кластерам NNB ( n = 101 Типичное смещение , n = 67 Обратное смещение и n = 66 No Bias ) существенно не отличался от всей выборки, X ² (2,234) = 0.32, p = 0,85.

Проверка весов

Наша гипотеза заключалась в том, что элементы оценки величины оценивали одну и ту же конструкцию независимо от конкретного формата представления (круг или лента). Тем не менее, подтверждающий факторный анализ показал, что модель с двумя разными латентными факторами для каждого представления (круг или лента) значительно лучше соответствует данным, чем модель с одним латентным фактором (независимо от конкретного представления), X ² ( 1) = 104.8, p <0,001. Однако альфа Кронбаха для шкалы одномерной оценки величины была высокой как для процентной абсолютной ошибки (PAE, α = 0,92, 95% ДИ [0,91,0,94]), так и для времени отклика (RT, α = 0,86, 95%. ДИ [0,84,0,89]). Поскольку для нашего анализа различия между обоими представлениями не представляют особого интереса, мы выбрали одномерную шкалу оценки величины для дальнейшего анализа, но мы допустили случайный перехват Task Type в следующих LMM для учета дисперсии из-за конкретных представлений.

Различия между профилями учащихся

В среднем PAE составила 14,4% ( SE = 1,1). Расчетное маргинальное среднее значение RT составило 8,06 с ( SE, = 1,35). Нас интересовало, чем студенты из разных кластеров ННБ различались по этим значениям. Оценки параметров из LMM приведены в Таблице 5.

Таблица 5. Оценки параметров для линейных смешанных моделей для процента абсолютной ошибки и времени отклика в элементах в задаче оценки величины.

Что касается PAE, случайные эффекты в полной модели казались незначительными. Студенты в кластере No Bias показали PAE 10,8%, 95% CI [8,2, 13,4], что было значительно ниже, чем PAE студентов в кластере Typical Bias (PAE = 16,6%, 95% CI [ 14.3, 18.9]), p <0,001, и значительно ниже, чем PAE студентов в кластере Reverse Bias (PAE = 14,8%, 95% CI [12,3, 17,3]), p <0,05 (Таблица 5).Не было обнаружено значительных различий между студентами в кластере Typical Bias и Reverse Bias , p = 0,32. Таким образом, студенты из кластера No Bias дали наиболее точные оценки величины доли в задаче оценки величины.

Что касается RT, студентам из кластера No Bias (RT = 9,17, 95% CI [6,40, 11,94]) потребовалось значительно больше времени, чтобы оценить величину данных фракций, чем студентам из кластера Typical Bias (RT = 7.68, 95% ДИ [4,94, 10,41]), p <0,01 или кластер Reverse Bias (RT = 7,48, 95% ДИ [4,72, 10,24]), p <0,01 (Таблица 5). Опять же, не было обнаружено значительной разницы между студентами в кластере Типичное смещение и кластере Обратное смещение , p = 0,93. Таким образом, в соответствии с результатами задач сравнения дробей, студенты из кластера No Bias потратили больше времени на решение заданий, чем студенты из обоих кластеров с предвзятостью.

Обсуждение

Нас интересовали отдельные профили NNB и взаимодействие между NNB и обработкой дробных величин. Ниже мы обсудим результаты, касающиеся этих двух аспектов. Затем мы обсудим оценку обработки величины дроби с непрерывными диаграммами на устройствах с сенсорным экраном, а также ограничения нашего исследования.

Индивидуальные профили со смещением натурального числа и без него

Мы обнаружили три различных профиля систематической ошибки натуральных чисел при сравнении дробей, что согласуется с результатами недавних исследований (Rinne et al., 2017; Гомес и Дартнелл, 2019; Гонсалес-Форте и др., 2019). Студенты из кластера Typical Bias продемонстрировали типичный NNB (лучшая производительность по конгруэнтным элементам сравнения, чем по неконгруэнтным элементам сравнения), в то время как студенты из кластера Reverse Bias показали NNB в противоположном направлении (лучшая производительность по неконгруэнтным элементам сравнения, чем по конгруэнтным элементам сравнения). По сравнению со студентами из кластера Typical Bias , студенты из кластера Reverse Bias , похоже, изменили свои числовые концепции относительно дробей: они, кажется, считают дробь большей, когда ее компоненты меньше.Об этих двух профилях сообщалось в нескольких исследованиях, в которых использовались подходы, ориентированные на человека: Rinne et al. (2017) обнаружили их в своем лонгитюдном исследовании с учениками с 4 по 6 класс до и после систематического обучения дробям в школе; Гонсалес-Форте и др. (2019) с семиклассниками; и Гомес и Дартнелл (2019) с учащимися 5-7 классов.

Напротив, студенты в кластере No Bias не показали паттернов NNB. Они показали высокую вероятность решения задач сравнения как конгруэнтных, так и неконгруэнтных фракций, хотя в целом показатели решения были не очень высокими.Опять же, этот кластер был обнаружен и в других исследованиях. Например, Гомес и Дартнелл (2019) сообщили о группе непредвзятых студентов, показавших относительно низкие — но выше вероятности — в сравнении символических долей с нестандартными компонентами. Для учащихся из нашего кластера No Bias задачи были более сложными, когда одну неправильную дробь нужно было сравнивать с одной правильной, чем когда обе дроби были неправильными — результат, который Rinne et al. (2017) отчет для учащихся в кластере с наилучшими показателями до начального обучения дробям в школе.Это говорит о том, что учащиеся из нашего кластера No Bias еще не смогли использовать бенчмаркинг до 1 в качестве эффективной стратегии (Clarke and Roche, 2009; Reinhold et al., 2018). В целом, студенты из кластера No Bias , похоже, начали развивать более глубокое понимание дробей.

Примечательно, что студенты из кластера Typical Bias и Reverse Bias ответили значительно быстрее, чем студенты из кластера No Bias .Мы интерпретируем это как показатель того, что учащиеся из обоих предвзятых кластеров не знали о сложности задач сравнения дробей, и как еще одно эмпирическое свидетельство присутствия (обратного) NNB в конкретных профилях учащихся: кажется разумным, что ответ, основанный на ( обратное) NNB-мышление — то есть обработка величины натуральных чисел — быстрее, чем реакция на основе обработки дроби , величины (Obersteiner et al., 2013; Van Hoof et al., 2013), особенно на этом раннем уровне дроби размах развития.

В целом, сильные индивидуальные различия в паттернах NNB предполагают, что исследования NNB в частности и исследования по развитию дробных знаний в целом должны использовать личностно-ориентированные подходы для учета индивидуальных различий (см. Rinne et al., 2017; Van Hoof et al., 2018; Gómez, Dartnell, 2019; González-Forte et al., 2019).

Смещение натурального числа и величина дробной части

Мы нашли эмпирические доказательства связи между наличием NNB и обработкой дробной величины.Эта связь была обнаружена как в задаче сравнения символических дробей (эффекты расстояния), так и в задаче оценки величины с непрерывными диаграммами. Что касается первого отношения (сравнение величины NNB и символической дроби), студенты в обоих кластерах, которые продемонстрировали NNB (типичное или обратное), не показали эффекта численного расстояния в задачах сравнения дробей, в то время как студенты в кластере No Bias показали. Этот результат согласуется с гипотезой о том, что студенты, на которых влияют компоненты фракции NNB, обрабатывают компоненты фракции отдельно и борются с обработкой фракций как целостных величин.Во-вторых, результаты задачи оценки величины с непрерывными диаграммами показали, что наличие NNB (как типичного, так и обратного) было связано с большей процентной абсолютной ошибкой. Как и в задаче сравнения символических долей, студенты из кластера No Bias продемонстрировали значительно более длительное время отклика при оценке величины, чем студенты из обоих кластеров с предвзятостью. На первый взгляд это кажется нелогичным, но мы предполагаем, что учащиеся из кластера No Bias находились на продвинутой стадии понимания дробной величины, но еще не автоматизировали обработку дробной величины.В будущие исследования можно было бы включить студентов с более высоким уровнем понимания фракций и проверить, демонстрируют ли эти студенты более быстрые ответы без предвзятости.

Основываясь на текущей литературе и этих выводах, мы предлагаем предварительную модель компетенции в обработке дробных величин, которую можно было бы эмпирически оценить в дальнейших исследованиях: (1) На самом низком уровне студенты демонстрируют стойкую NNB без обработки дробных величин (например, кластеры, описанные в нашем исследовании, а также Rinne et al., 2017; Гомес и Дартнелл, 2019; Гонсалес-Форте и др., 2019). (2) На втором уровне учащиеся демонстрируют обратное смещение из-за неправильной интерпретации концепций дробей, но все еще не обрабатывают величину дроби (например, кластеры, указанные в нашем исследовании, а также Rinne et al., 2017; Gómez and Dartnell, 2019 ; Гонсалес-Форте и др., 2019). (3) На третьем уровне учащиеся не показывают NNB, но демонстрируют обработку дробных величин — но медленную и с низкой точностью (например, кластеры, представленные в нашем исследовании, а также в Gómez and Dartnell, 2019).(4) На самом высоком уровне студенты не показывают NNB (в отношении точности) и могут точно обрабатывать величину фракции (например, кластеры, указанные в Rinne et al., 2017; Gómez and Dartnell, 2019; González-Forte et al. ., 2019) — и быстро (например, академические математики сообщили в Obersteiner et al., 2013).

Хотя наше исследование не дает доказательств прогрессии в развитии (поскольку это поперечное исследование одной популяции), результаты лонгитюдного исследования Rinne et al.(2017) могут предложить траекторию обучения от уровня 1 к уровню 4. Это исследование показало, что учащиеся с по постепенно переходят между этими этапами во время формального обучения фракциям в школе. Необходимы дальнейшие исследования в отношении развития студентов. Представляется особенно интересным, как траектории обучения в отношении обработки дробных величин, предложенные, например, Резником и др. (2016), и траектории обучения в отношении NNB, предложенные, например, Rinne et al.(2017), подходят друг другу.

Что касается прогрессирования развития, роль обратной предвзятости еще не до конца ясна, поскольку текущие исследования дают два разных объяснения этой закономерности. Хотя Rinne et al. (2017) утверждают, что это может быть связано с чрезмерным обобщением того факта, что большие числа могут представлять меньшие дроби, альтернативное объяснение паттерна обратного смещения состоит в том, что учащиеся используют особую стратегию для сравнения дробей, а именно пробелов в мышлении . В рамках этой стратегии можно утверждать, что чем больше разница между числителем и знаменателем, тем меньше дробь (González-Forte et al., 2019). Последовательное применение мышления с пробелами в заданиях с необычными компонентами и правильными дробями приведет к обратному шаблону смещения, потому что всегда приводит к правильным решениям в неконгруэнтных заданиях (например, 2/3> 4/9, потому что 3 — 2 = 1 и 9 — 4 = 5), но это может привести к неправильным решениям в совпадающих элементах (например, 1/3> 5/9, потому что 3 — 1 = 2 и 9 — 5 = 4) (Gómez et al. , 2017; см. Obersteiner et al., 2020). Учитывая короткое время отклика студентов из кластера Reverse Bias в нашем исследовании, кажется маловероятным, чтобы рассуждения этих студентов были основаны на пробелах мышления, что потребовало бы двух вычитаний.Тем не менее, необходимы дальнейшие исследования, чтобы изучить, как использование конкретных стратегий связано с возникновением моделей систематической ошибки при сравнении фракций (Obersteiner et al., 2019b).

Также не очень ясно, как обучение может наилучшим образом помочь учащимся в достижении более высоких уровней обработки дробных величин, хотя существует множество рекомендаций по улучшению понимания учащимися дробей (например, Behr et al., 1983; Butler et al., 2003; Prediger, 2008; Obersteiner et al., 2019a; Reinhold et al., 2020). Дальнейшие исследования с продольным и / или экспериментальным планами необходимы для выявления потенциальных причинных эффектов инструкций при переходах между предлагаемыми уровнями обработки дробных величин. Особенно интересный вопрос заключается в том, является ли обратное смещение необходимым шагом или его можно предотвратить с помощью определенных форм инструкций.

Более того, роль использования стратегии и обработки дробной величины в задаче символьного сравнения все еще не совсем ясна.Исследование Fazio et al. (2016) показали, что молодые люди применяют множество различных стратегий при сравнении величины двух фракций. Однако менее ясно, относится ли это также к студентам, изучающим концепцию дробей (но см. Clarke and Roche, 2009). Исследование González-Forte et al. (2019) дает первое свидетельство того, что студенты, показывающие типичный NNB, действительно полагаются на стратегии сравнения на основе компонентов.

Оценка величины фракции с помощью непрерывных диаграмм на устройствах с сенсорным экраном

Мы утверждали, что непрерывные диаграммы, представленные на устройствах с сенсорным экраном, являются подходящим способом оценки обработки величины дроби.Результаты нашего исследования подтверждают этот аргумент. Задача непрерывной оценки величины дала аналогичные результаты в отношении обработки величины дроби, что и задача сравнения символической дроби. Однако задача оценки величины имела то преимущество, что она позволяла непрерывно измерять величину одной дроби (абсолютная ошибка в процентах) даже у студентов двух кластеров смещения, которые не показали эффекта расстояния при сравнении двух дробей.

Дальнейший анализ данных, собранных с помощью нашего инструмента с сенсорным экраном, может дать дополнительную информацию о стратегиях, которые учащиеся использовали для определения величин дробей.В частности, данные отслеживания пальцев могут предоставить подробную информацию о рассуждениях учащихся. Отслеживание пальцев — как использовалось в предыдущих исследованиях (Dotan and Dehaene, 2013; Faulkenberry et al., 2015) — является довольно естественным способом ввода данных и может обеспечить более прямую связь между движениями рук и когнитивными процессами, чем отслеживание мыши.

Хотя наше исследование было направлено на оценки обработки величины дроби , мы предлагаем использовать наш цифровой инструмент оценки в качестве эффективного инструмента для поддержки развития учащихся величины дроби при наличии адекватной обратной связи (Reinhold et al., 2020).

Ограничения

Наше исследование включало выборку студентов с низкой успеваемостью, потому что мы хотели изучить выборку с четкими паттернами NNB. Соответственно, идентифицированные нами кластеры NNB не могут быть обобщены на другие образцы. Среди студентов с более высокими математическими способностями можно было бы ожидать найти дополнительную группу студентов с более высокими показателями решения и более сильными эффектами расстояния (сравнимыми с академическими математиками в Obersteiner et al., 2013; или с профилем All Correct в González-Forte et al. al., 2019). В будущих исследованиях можно будет выяснить, можно ли найти те же кластеры в другой выборке и как учащиеся переходят из одного кластера в другой во время разработки. Было бы также интересно изучить, как другие факторы (например, интеллект, предшествующий неформальный опыт обучения, качество обучения) связаны с членством в различных кластерах.

Мы утверждали, что непрерывные представления могут лучше подходить для оценки обработки дробных величин, чем дискретные представления, особенно в исследованиях со студентами с паттернами ответов NNB.Как уже отмечалось, мы не можем исключить, что непрерывные меры также поощряют пропорциональное рассуждение (например, Jeong et al., 2007; Boyer et al., 2008; Boyer and Levine, 2015). Однако мы утверждаем, что «эти оценки [обработка величины и пропорциональное рассуждение] не исключают друг друга» (Schneider et al., 2018a, p. 1468) и что, напротив, пропорциональное рассуждение может быть основой для обработки дробной величины. . В будущих исследованиях можно было бы более подробно изучить взаимосвязь между обработкой дробной величины и пропорциональным рассуждением.Точно так же исследования могут изучить потенциальные различия в когнитивных процессах, участвующих в оценке величины на круговых или ленточных диаграммах. В нашем исследовании элементы в обоих представлениях оказались надежной шкалой, хотя факторный анализ действительно выявил различия между обоими представлениями.

Кроме того, дальнейшие исследования могли бы систематически исследовать различия в способностях, требуемых при выполнении оценочных задач с числовыми линиями, с одной стороны, и с непрерывными диаграммами, с другой.Было бы также интересно узнать, демонстрируют ли используемые непрерывные диаграммы стимулы эффект режима между оценкой с помощью сенсорного экрана и более традиционной оценкой на бумаге. Первые свидетельства Piatt et al. (2016) предполагают, что в задачах оценки числовой линии отсутствует эффект режима.

Заключение

Мы обнаружили, что систематическая ошибка натуральных чисел (типичная или обратная) была связана с обработкой низкой дробной величины, в то время как ее отсутствие было связано с обработкой средней величины в выборке учащихся с более низкими результатами.Мы предложили способ оценки обработки величины отдельных фракций с использованием непрерывных визуальных представлений на устройствах с сенсорным экраном, которые имеют особые преимущества при оценивании учащихся с низкими достижениями. Дальнейшие исследования с лонгитюдными планами и вмешательствами необходимы, чтобы лучше понять, как учащиеся обрабатывают величину дробной части и модели смещений, а также факторы, влияющие на взаимосвязь между ними.

Заявление о доступности данных

Наборы данных, созданные для этого исследования, доступны по запросу соответствующему автору.

Заявление об этике

Исследования с участием людей были рассмотрены и одобрены Staatliches Schulamt München für Mittelschulen, ссылка SchRIII / Erh206 / 1. Письменное информированное согласие на участие в этом исследовании было предоставлено законным опекуном / ближайшими родственниками участников.

Авторские взносы

FR задумал и разработал анализ, собрал данные, предоставил данные или инструменты анализа, выполнил анализ и написал рукопись.АО предоставила данные или инструменты анализа и внесла свой вклад в написание рукописи. SH задумал и разработал анализ, задумал и осуществил сбор данных, собрал данные, предоставил данные или инструменты анализа и внес свой вклад в написание рукописи. SIH способствовал написанию рукописи. KR задумал и разработал анализ, участвовал в написании рукописи и получил финансирование.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Финансирование

Эта работа была частью проекта ALICE: fractions , который был поддержан Фондом Хайнца Никсдорфа, Германия, под немецким названием «Lernen mit dem Tablet-PC: Eine Einführung in das Bruchrechnen für Klasse 6» (ссылка : 12502). Фонд Хайнца Никсдорфа не оказал поддержки в подготовке статьи, дизайне исследования, сборе, анализе и интерпретации данных, написании отчета и решении представить статью для публикации.Эта работа была поддержана Немецким исследовательским фондом (DFG) и Техническим университетом Мюнхена в рамках программы финансирования Open Access Publishing.

Благодарности

Мы хотим поблагодарить Бернхарда Вернера и Юргена Рихтера-Геберта за их вклад в проект ALICE: фракции . Это исследование было одобрено ответственным местным органом образования, Мюнхен, Германия (ссылка: SchR III / Erh206 / 1). Мы хотим поблагодарить всех студентов и преподавателей за участие в исследовании.

Список литературы

Андерсон, К. Дж., Веркуилен, Дж., И Джонсон, Т. Р. (2010). Прикладные обобщенные линейные смешанные модели: непрерывные и дискретные данные для социальных и поведенческих наук. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер.

Google Scholar

Backhaus, K., Erichson, B., Plinke, W., and Weiber, R. (2018). Метод многомерного анализа , [Методы многомерного анализа]. 15-е изд. Берлин: Springer.

Google Scholar

Бейтс, Д., Мехлер М., Болкер Б. и Уокер С. (2015). Подгонка линейных моделей смешанных эффектов с использованием lme4. J. Stat. Softw 67, 1–48. DOI: 10.18637 / jss.v067.i01

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Бер М., Леш Р. А., Пост Т. Р. и Сильвер Э. (1983). «Концепции рациональных чисел», в Acquisition of Mathematics Concepts and Processes , ред. Р. Леш и М. Ландау (Нью-Йорк: Academic Press), 91–125.

Google Scholar

Бойер, Т.В., и Левин, С. К. (2015). Побуждая детей рассуждать пропорционально: обработка дискретных единиц как непрерывных сумм. Dev. Psychol. 51, 615–620. DOI: 10.1037 / a0039010

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Брауэр М., Куртин Дж. Дж. (2018). Линейные модели со смешанными эффектами и анализ независимых данных: единая структура для анализа категориальных и непрерывных независимых переменных, которые варьируются в пределах субъектов и / или элементов. Psychol. Методы 23, 389–411. DOI: 10.1037 / met0000159

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Брайт Г., Бер М., Пост Т. Р. и Ваксмут И. (1988). Определение дробей на числовых линиях. J. Res. Математика. Educ. 19, 215–232.

Google Scholar

Батлер, Ф. М., Миллер, С. П., Крехан, К., Бэббит, Б., и Пирс, Т. (2003). Дробное обучение для учащихся с математическими ограничениями: сравнение двух обучающих последовательностей. Узнать. Disabil. Res. Практик. 18, 99–111. DOI: 10.1111 / 1540-5826.00066

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Каррахер, Д. В. (1993). Направления мысли: соотношение и операторная модель рационального числа. Educ. Stud. Математика. 25, 281–305. DOI: 10.1007 / bf01273903

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Чаррад, М., Газзали, Н., Буато, В., и Никнафс, А. (2014). NbClust: пакет R для определения соответствующего количества кластеров в наборе данных. J. Stat. Softw 61, 1–36. DOI: 10.18637 / jss.v061.i06

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кларк, Д. М., и Рош, А. (2009). Стратегии сравнения дробей учащихся как окно в здравое понимание и возможные указатели для обучения. Educ. Stud. Математика. 72, 127–138. DOI: 10.1007 / s10649-009-9198-9

CrossRef Полный текст | Google Scholar

ДеВольф, М., Бассок, М., и Холиоук, К. Дж. (2015). Концептуальная структура и процедурные возможности рациональных чисел: относительные рассуждения с дробями и десятичными знаками. J. Exp. Psychol. Gen. 144, 127–150. DOI: 10.1037 / xge0000034

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

ДеВольф, М., Восниаду, С. (2011). «Смещение целых чисел при сравнении дробных величин со взрослыми», в Трудах 33-й ежегодной конференции Общества когнитивных наук , ред. Л. Карлсон, К. Хельшер и Т. Ф. Шипли (Бостон: Общество когнитивных наук), 1751–1751 гг. 1756.

Google Scholar

Фолкенберри, Т.Дж., Монтгомери, С.А., и Теннес, С.-А. Н. (2015). Траектории отклика показывают временную динамику представлений дробей. Acta Psychol. 159, 100–107. DOI: 10.1016 / j.actpsy.2015.05.013

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Фацио, Л. К., ДеВольф, М., и Сиглер, Р. С. (2016). Использование стратегии и выбор стратегии при сравнении величины дроби. J. Exp. Psychol. Учиться. Mem. Cogn. 42, 1–16. DOI: 10.1037 / xlm0000153

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Голдхаммер, Ф., Науманн, Дж., Стелтер, А., Тот, К., Рёльке, Х., и Климе, Э. (2014). Влияние времени на выполнение задачи при чтении и решении задач зависит от сложности задачи и навыков: выводы, полученные в результате крупномасштабной компьютерной оценки. J. Educ. Psychol. 106, 608–626. DOI: 10.1037 / a0034716

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Гомес Д. и Дартнелл П. (2019). Средние школьники. Внутр. J. Sci. Математика. Educ. 17, 1233–1250. DOI: 10.1007 / s10763-018-9913-z

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Гомес, Д., Сильва, Э., Дартнелл, П. (2017). «Обратите внимание на разрыв: конгруэнтность и влияние разрыва на сравнение фракций студентов инженерных специальностей», в материалах Труды 41-й конференции Международной группы психологии математического образования , ред. Б. Каур, У. К. Хо, Т. Л. Тох и Б. Х. Чой. (Сингапур: PME), 353–360.

Google Scholar

Гонсалес-Форте, Дж. М., Фернандес, К., Ван Хоф, Дж., И Ван Дурен, В. (2019). «Изучение рассуждений студентов о величине дроби», в Труды 43-й конференции Международной группы психологии математического образования , ред.Грейвен, Х. Венкат, А. Эссьен и П. Вейл (Претория: PME), 272–279.

Google Scholar

Гётц, Л., Лингель, К., и Шнайдер, В. (2013). DEMAT 6+. Deutscher Mathematiktest für sechste Klassen , [тест по немецкой математике для 6 класса]. Геттинген: Hogrefe.

Google Scholar

Хамдан, Н., Гандерсон, Э. А. (2017). Числовая линия является важным пространственно-числовым представлением: свидетельство вмешательства фракции. Dev. Psychol. 53, 587–596.DOI: 10.1037 / dev0000252

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Хох, С., Рейнхольд, Ф., Вернер, Б., Рихтер-Геберт, Дж., И Рейсс, К. (2018a). Дизайн и исследовательский потенциал интерактивных учебников: на примере дробей. ZDM Math. Educ. 50, 839–848. DOI: 10.1007 / s11858-018-0971-z

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Хох, С., Рейнхольд, Ф., Вернер, Б., Рихтер-Геберт, Дж., И Рейсс, К. (2018b). «Как ученики визуализируют дроби? Исследование отслеживания пальцев », в материалах Proceedings of the 42nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education , eds E.Бергквист, М. Остерхольм, К. Гранберг и Л. Самптер (Умео: PME), 64.

Google Scholar

Чон Й., Левин С. К. и Хаттенлохер Дж. (2007). Развитие пропорционального мышления: эффект непрерывных и дискретных величин. J. Cogn. Dev. 8, 237–256. DOI: 10.1080 / 15248370701202471

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кирен Т. Э. (1976). «О математических, когнитивных и обучающих основах рациональных чисел», в Число и измерение: документы исследовательского семинара , изд.Р. А. Леш (Вашингтон, округ Колумбия: ERIC), 101–144.

Google Scholar

Кованович В., Гашевич Д., Доусон С., Йоксимович С., Бейкер Р. С. и Хатала М. (2015). Имеет ли значение оценка времени выполнения задачи? Последствия для достоверности результатов аналитики обучения. J. ЖЖ. Анальный. 2, 81–110. DOI: 10.18608 / jla.2015.23.6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Лорти-Форгез, Х., Тиан, Дж., И Сиглер, Р. С. (2015). Почему так сложно выучить дробную и десятичную арифметику? Dev.Ред. 38, 201–221. DOI: 10.1016 / j.dr.2015.07.008

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Меерт, Г., Грегуар, Дж., И Ноэль, М.-П. (2010). Сравнение величины двух фракций с общими компонентами: какие представления используют 10- и 12-летние? J. Exp. Child Psychol. 107, 244–259. DOI: 10.1016 / j.jecp.2010.04.008

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ni, Y., and Zhou, Y.-D. (2005). Преподавание и обучение дроби и рациональных чисел: истоки и последствия смещения целых чисел. Educ. Psychol. 40, 27–52. DOI: 10.1207 / s15326985ep4001_3

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Новиллис-Ларсон, К. (1980). Размещение правильных дробей на числовых линиях: влияние длины и эквивалентности. Sch. Sci. Математика. 80, 423–428. DOI: 10.1111 / j.1949-8594.1980.tb09687.x

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Оберштайнер А., Алибали М. В. и Марупуди В. (2020). Сложные сравнения дробей и систематическая ошибка натуральных чисел: роль критериев. Узнать. Instr. 67: 101307. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2020.101307

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Оберштайнер А., Дреслер Т., Бик С. М. и Мёллер К. (2019a). «Понимание дробей: объединение результатов математического образования, когнитивной психологии и нейробиологии», в Constructing Number , ред. А. Нортон и М. В. Алибали (Cham: Springer International Publishing), 135–162. DOI: 10.1007 / 978-3-030-00491-0_7

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Оберштайнер, А., Марупуди В., Алибали М. В. (2019b). «Использование стратегии взрослых в сравнении дробей», в материалах Труды 43-й конференции Международной группы психологии математического образования , ред. М. Гравен, Х. Венкат, А. Эссьен и П. Вейл, Претория: PME , 153–160.

Google Scholar

Оберштайнер А., Рейсс К., Ван Дурен В. и Ван Хоф Дж. (2019c). «Понимание рациональных чисел — препятствия для учащихся с математическими трудностями в обучении и без них», в Международном справочнике по трудностям обучения математике , под ред. А.Фриц, В. Г. Хаазе и П. Рясанен (Cham:: Springer International Publishing), 581–594. DOI: 10.1007 / 978-3-319-97148-3_34

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Оберштайнер А. и Тумпек К. (2016). Измерение стратегий сравнения фракций с отслеживанием глаз. ZDM 48, 255–266. DOI: 10.1007 / s11858-015-0742-z

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Оберштайнер А., Ван Хоф Дж. И Вершаффель Л. (2013). «Смещение натуральных чисел опытных математиков при сравнении дробей», в материалах Труды 37-й конференции Международной группы психологии математического образования , ред.М. Линдмайер и А. Хайнце, Киль: PME, 393–400.

Google Scholar

Пиатт, К., Корет, М., Чой, М., Волден, Дж., И Бисанц, Дж. (2016). Сравнение успеваемости детей и их предпочтений в задаче по числовой оценке: планшет по сравнению с бумагой и карандашом. J. Psychoeduc. Оценивать. 34, 244–255. DOI: 10.1177 / 07342824746

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Пост Т., Бер М. и Леш Р. (1986). Исследования, основанные на наблюдениях за обучением детей понятиям рациональных чисел. Focus Learn. Пробл. Математика. 8, 39–48.

Google Scholar

Предигер, С. (2008). Актуальность дидактических категорий для анализа препятствий на пути концептуальных изменений: возвращаясь к случаю умножения дробей. Узнать. Instr. 18, 3–17. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2006.08.001

CrossRef Полный текст | Google Scholar

R Основная команда, (2008). R: язык и среда для статистических вычислений. Вена: Фонд R для статистических вычислений.

Google Scholar

Рейнхольд, Ф. (2019). Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und Psyphologischer Perspektive: Eine empirische Studie in Jahrgangsstufe 6. [Эффективность планшетных ПК в разработке начальных концепций психологии и математического образования.] Берлин: Springer.

Google Scholar

Рейнхольд, Ф., Хох, С., Вернер, Б., Рихтер-Геберт, Дж., и Рейсс, К. (2020). Изучение дробей с использованием образовательных технологий и без них: что важно для учеников с высокими и низкими достижениями? Узнать. Instr. 65: 101264. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2019.101264

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Райнхольд, Ф., Рейсс, К., Хох, С., Вернер, Б., и Рихтер-Геберт, Дж. (2018). «Сравнение дробей: активный способ», в книге «Поддержка учащихся в выборе подходящих стратегий с помощью обучения с помощью iPad».в 2018 году на ежегодном собрании Американской ассоциации исследований в области образования (AERA) , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.

Google Scholar

Резник, И., Джордан, Н. К., Хансен, Н., Раджан, В., Родригес, Дж., Сиглер, Р. С. и др. (2016). Траектории развития в понимании величины дроби с четвертого по шестой класс. Dev. Psychol. 52, 746–757. DOI: 10.1037 / dev0000102

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Россель, Ю.(2012). lavaan: пакет R для моделирования структурных уравнений. J. Stat. Софтв. 48, 1–36. DOI: 10.18637 / jss.v048.i02

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Зельцер, К., Рейсс, К., Шипе-Тиска, А., Пренцель, М., и Хайнце, А. (2013). «Zwischen Grundlagenwissen und Anwendungsbezug: Mathematische Kompetenz im internationalen Vergleich [Между базовыми знаниями и применением: математическая компетентность в сравнении с международными стандартами]» в PISA 2012: Fortschritte und Herausforderungen in Deutschland , ред. М.Пренцель, К. Зельцер, Э. Климе и О. Кёллер (Мюнстер: Ваксманн), 47–98.

Google Scholar

Schneider, M., Beeres, K., Coban, L., Merz, S., Susan Schmidt, S., Stricker, J., et al. (2017). Связь обработки несимволических и символических числовых величин с математической компетенцией: метаанализ. Dev. Sci. 20: e12372. DOI: 10.1111 / desc.12372

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Шнайдер, М., Мерц, С., Стрикер, Дж., Де Смедт, Б., Torbeyns, J., Verschaffel, L., et al. (2018a). Связь оценки числовой линии с математической компетентностью: метаанализ. Child Dev. 89, 1467–1484. DOI: 10.1111 / cdev.13068

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Шнайдер М., Томпсон К. А. и Риттл-Джонсон Б. (2018b). «Связь сравнения величин и числовой оценки с математической компетенцией: сравнительный обзор», в Когнитивное развитие со стратегической точки зрения: сборник Роберта С.Siegler , изд. П. Лемэр (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Рутледж), 100–119. DOI: 10.4324 / 9781315200446-7

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Шнайдер М., Зиглер Р. С. (2010). Представления величин дробей. J. Exp. Psychol. Гм. Восприятие. Выполнять. 36, 1227–1238. DOI: 10.1037 / a0018170

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Шарма, С. (1996). Прикладные многомерные методы. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья.

Google Scholar

Зиглер, Р.С., Томпсон, К.А., и Шнайдер, М. (2011). Интегрированная теория развития целых чисел и дробей. Cognit. Psychol. 62, 273–296. DOI: 10.1016 / j.cogpsych.2011.03.001

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Спрут, Л., Темпл, Э. (2011). Представления дробей: свидетельство доступа ко всей величине у взрослых. Mind Brain Educ. 5, 42–47. DOI: 10.1111 / j.1751-228X.2011.01109.x

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Вамвакусси, X., и Восниаду, С. (2004). Понимание структуры набора рациональных чисел: подход концептуального изменения. Узнать. Instr. 14, 453–467. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2004.06.013

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Хоф, Дж., Дегранде, Т., Сеулеманс, Э., Вершаффель, Л., и Ван Дурен, В. (2018). На пути к математически более правильному пониманию рациональных чисел: продольное исследование с учащимися старших классов начальной школы. Узнать. Индивидуальный. Отличаются. 61, 99–108. DOI: 10.1016 / j.lindif.2017.11.010

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Хоф, Дж., Лейнен, Т., Вершаффель, Л., и Ван Дурен, В. (2013). Учащимся средней школы по-прежнему мешает систематическая ошибка натуральных чисел? Исследование времени реакции на задачи сравнения фракций. Res. Математика. Educ. 15, 154–164. DOI: 10.1080 / 14794802.2013.797747

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Хоф, Дж., Vandewalle, J., Verschaffel, L., и Van Dooren, W. (2015). В поисках систематической ошибки натуральных чисел в интерпретации учащимися средних школ эффекта арифметических операций. Узнать. Instr. 37, 30–38. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2014.03.004

CrossRef Полный текст | Google Scholar

границ | Три выборочные оценки доли отсутствующей информации от максимального правдоподобия полной информации

1. Введение

Отсутствующие данные часто могут возникать в психологических исследованиях, будь то из-за выбывания из лонгитюдных исследований, пропущенных вопросов в опросах или нехватки оборудования (например.g., айтрекеры, неспособные уловить определенные движения глаз). Отсутствие данных также может быть результатом стратегического использования плана запланированных отсутствующих данных (Graham et al., 2006). Например, в исследованиях с чрезмерно длинными анкетами исследователи могут захотеть задать каждому участнику только часть вопросов, а остальные рассматривать как пропущенные, чтобы снизить утомляемость опроса. Традиционно психологи, которые сталкиваются с отсутствующими данными, чаще всего применяют методы ad-hoc с отсутствующими данными, такие как удаление по списку или попарное удаление .Эти методы выгодны в своей целесообразности, но часто приводят к непоследовательным оценкам и потере мощности, что приводит к неверным выводам. В последнее десятилетие или около того, современные методы пропущенных данных с лучшими статистическими характеристиками, такие как полная информация с максимальной вероятностью (FIML; Allison, 1987; Muthén et al., 1987; Arbuckle, 1996) и множественное вменение (MI; Rubin, 1987), становятся все более доступными через компьютерные программы, такие как lavaan (Rosseel, 2012) и mice (van Buuren and Groothuis-Oudshoorn, 2011), доступные в R (R Core Team, 2019).

Рубин (1976) определил три типа механизмов пропуска данных: полностью отсутствует случайным образом (MCAR), когда причина отсутствия данных не зависит от какой-либо переменной в наборе данных, независимо от того, отсутствуют они или наблюдаются; отсутствует случайным образом (MAR), когда данные о причине отсутствия данных зависят только от наблюдаемых данных, известных как обусловливающие переменные ; и отсутствуют не случайно (MNAR), когда причина отсутствия данных зависит от данных, которые не наблюдаются, даже после обработки наблюдаемых данных.Когда данные отсутствуют в психологических исследованиях, исследователи обычно предполагают игнорируемые недостающие данные, которые относятся к механизму пропуска MCAR или MAR, плюс дополнительное техническое предположение о том, что параметры, описывающие отсутствующий механизм, не зависят от параметров модели (Little and Rubin, 2002). В этой статье основное внимание будет уделено влиянию игнорируемого механизма MAR на оценки параметров FIML. При описании возможного воздействия отсутствия данных исследователи обычно указывают только частоту пропущенных данных по переменной в наборе данных в целом или долю неполных наблюдений.Однако одних отсутствующих коэффициентов недостаточно для определения эффективности оценок в рамках общего механизма MAR.

Предположение MAR является очень общим, и существует широкий спектр конкретных недостающих механизмов, которые могут генерировать данные MAR. Например, связь между обусловливающей переменной и вероятностью пропуска может быть монотонной или немонотонной (линейная или нелинейная MAR; см. Collins et al., 2001; Yoo, 2009; Savalei and Rhemtulla, 2017). Кроме того, отсутствующий механизм может быть более детерминированным или более вероятным (сильный или слабый MAR; см. Yucel et al., 2011; Салливан и др., 2018; Chen et al., 2020). Когда механизмы MAR различаются, статистические свойства оценок параметров FIML могут различаться, даже если пропущенные коэффициенты одинаковы. Хотя MCAR, частный случай MAR, не включает каких-либо обусловливающих переменных, что позволяет избежать некоторых из этих проблем, он все же может привести к оценкам параметров с различной эффективностью, когда количество шаблонов отсутствующих данных различается (например, Savalei and Bentler, 2005; Савалей и Фальк, 2014).

Различная производительность оценок FIML при различных механизмах MAR может привести к различиям в эффективности и, следовательно, к разной мощности при использовании для выполнения тестов нулевой гипотезы.В свете кризиса репликации к исследователям вновь обратились с призывом лучше понять силу своего анализа. Влияние отсутствующих данных на мощность можно понять только в том случае, если мы примем более информативную диагностическую меру, чем показатели отсутствия данных. В этой статье мы утверждаем, что подходящей диагностической мерой является величина, известная как часть недостающей информации (FMI). Мы оцениваем эффективность нескольких оценок FMI в контексте оценки FIML в рамках моделирования структурных уравнений (SEM).Эта структура является довольно общей и включает регрессионные модели, анализ путей, подтверждающий факторный анализ и общие линейные модели, включающие любую комбинацию наблюдаемых и скрытых переменных.

SEM обычно подходят как модели среднего значения и ковариационной структуры . FIML могут быть получены путем максимизации наблюдаемых данных журнала логарифмического правдоподобия нормальной теории L (θ | Y ) , предоставлено (Little and Rubin, 1987):

logL (θ | Y) = ∑i = 1NlogLi (θ | Y) (1) = -∑i = 1Npi2log (2π) -12∑i = 1Nlog | Σi (θ) | -12∑i = 1N (xi-μi (θ)) ′ Σi-1 (θ) (xi-μi (θ)),

, где N — размер выборки, p _i — количество переменных, наблюдаемых для случая i .FIML в той степени, в которой отсутствующие данные Z содержат информацию о θ.

1.1. Часть недостающей информации

Показатель FMI определяет количество информации, отсутствующей при оценке конкретного параметра (т. Е. Элемента θ), с учетом падения эффективности, когда этот параметр оценивается на основе наблюдаемых данных Y , а не на основе гипотетических полных данных Х . Хотя вычисление FMI было первоначально введено в контексте MI (Rubin, 1987), его теоретические корни можно проследить до принципа отсутствия информации , изложенного Орчардом и Вудбери (1972).Этот принцип гласит, что вероятность полных данных, L (θ | X ), может быть учтена в вероятности наблюдаемых данных, L (θ | Y ), и плотности недостающих данных. данные с учетом наблюдаемых данных, f ( Z | θ, Y ):

L (θ | X) = L (θ | Y) f (Z | θ, Y). (2)

Отсюда следует, что первая производная от полной логарифмической вероятности данных или вектора баллов может быть записана как

∂logL (θ | X) ∂θ ′ = ∂logL (θ | Y) ∂θ ′ + ∂logf (Z | θ, Y) ∂θ ′.(3)

Информационная матрица может быть определена как ковариационная матрица вектора оценок (Рао, 1973). Пусть JX = Cov (∂logL (θ | X) ∂θ ′), JY = Cov (∂logL (θ | Y) ∂θ ′) и JX | Y = Cov (∂logf2 (Z | θ, Y) ∂ θ ′), принцип недостающей информации может быть записан как

Когда модель задана правильно и выполняется предположение многомерной нормальности, это тот случай, когда JX = -𝔼∂2logL (X | θ) ∂θ∂θ ′, т. Е. Информационная матрица для полных данных также является отрицательным математическим ожиданием. второй производной логарифмической вероятности данных (Rao, 1973).ML, j, которые были бы получены из полных данных).

Savalei и Rhemtulla (2012) дали прикладную интерпретацию ИФР с точки зрения его связи с коэффициентом инфляции ширины (WIF). WIF — это увеличение стандартной ошибки и ширины доверительного интервала из-за отсутствия информации. Определите WIF для параметра j th как WIFj = SEj, OSEj, C. Тогда из уравнения (5) имеем соотношение WIFj = 11-δj. Это уравнение показывает, что существует взаимно однозначное соответствие между FMI и влиянием, которое недостающие данные оказывают на свойство оценки параметра.Например, когда δ _j = 0,75, WIF _j = 2, что означает, что стандартная ошибка j -го параметра вдвое больше, чем это было бы при полных данных. Следовательно, доверительный интервал оценки этого параметра также становится вдвое шире. Когда δ _j = 0,5, то же вычисление дает нам WIF _j = 1,5, что показывает стандартную ошибку и CI на 50% больше из-за отсутствия данных.

1,2. Примерные оценки FMI

Для получения выборочных оценок ИФР после оценки FIML из уравнения (5), которое обеспечивает определение совокупности, нам нужны оценки стандартной ошибки, соответствующие полным и неполным данным. Однако, поскольку у нас есть только неполные данные, может показаться, что у нас есть только оценки стандартной ошибки, основанные на неполных данных. Чтобы обойти эту проблему, Savalei и Rhemtulla (2012) предложили оценить, какими были бы стандартные ошибки полных данных для каждого параметра, оценив теоретические формулы для стандартных ошибок ML при полных данных при оценках параметров FIML.FIML), сначала получаются путем анализа данных через FIML. Программное обеспечение SEM затем может использовать эти средства и ковариации для выполнения полной процедуры оценки данных, которая производит стандартные ошибки, которые используются в качестве оценок стандартной ошибки полных данных при вычислении FMI. Это вычисление работало хорошо и с тех пор было автоматизировано в lavaan . Однако при первоначальном внедрении были проблемы, поскольку часто производились отрицательные оценки ИФР, особенно в небольших выборках.Причина такой низкой производительности заключалась в том, что по умолчанию программные пакеты SEM вычисляют так называемые «ожидаемые» стандартные ошибки для полных данных и «наблюдаемые» стандартные ошибки для неполных данных (Savalei, 2010), а также оценки, предложенные и изученные в Savalei и Ремтулла (2012) полагался на эти значения по умолчанию. Однако в небольших выборках различия между этими типами стандартных ошибок могут быть достаточно большими, чтобы создавать проблемы, приводящие к отрицательным оценкам FMI. Начиная с lavaan версии 0.6-7, пакет теперь использует тот же тип информационной матрицы, что приводит к тому же типу оценок стандартной ошибки при оценке FMI с использованием уравнения (5). Поскольку стандартные ошибки для неполных данных MAR не являются согласованными, если они не основаны на наблюдаемой информации (Little and Rubin, 2002), мы рекомендуем всегда использовать наблюдаемую информацию для вычисления FMI; это фактически значение по умолчанию для lavaan .

Есть три варианта вычислений, которые подпадают под широкое обозначение «наблюдаемых» стандартных ошибок, и все они остаются согласованными, когда отсутствующим механизмом является MAR и модель верна.Эти три варианта вычислений будут идентичны для насыщенных моделей (т. Е. Моделей с нулевыми степенями свободы, таких как регрессионные модели), но в целом они будут различаться для структурированных моделей, т. Е. Моделей с положительными степенями свободы и налагающих некоторые ограничения. на средних и / или ковариационной матрице данных. Эти варианты описаны в Приложении B, и они реализованы в lavaan версии 0.6-7 (для получения дополнительных сведений см. Savalei and Rosseel, ress).1, j может иметь тот недостаток, что его сложнее вычислить и, следовательно, может привести к менее точным оценкам FMI в небольших выборках, но это прогноз, который необходимо оценивать эмпирически.

2. Имитационное моделирование

Хотя идея о том, как получить выборочные ИФР после оценки FIML, была опубликована несколько лет назад (Savalei and Rhemtulla, 2012), нам не известны какие-либо имитационные исследования, которые проводились для оценки эффективности выборочных ИФР. Более того, только недавно оценки FMI с лучшими характеристиками (с использованием одного и того же типа стандартных ошибок в числителе и знаменателе) стали автоматизированными в lavaan .3, j, как ожидалось, в модели насыщенной регрессии будут практически равны. Однако было неясно, чем они будут отличаться в двухфакторной модели. Следовательно, другой целью исследования было сравнение их производительности.

2.1. Метод

Исследование проводилось в версии R v3.6.1 (R Core Team, 2019). Все FMI были рассчитаны из lavaan 0.6-7 (Rosseel, 2012) с использованием параметров, указанных в дополнительной таблице 1. Пример кода того, как использовать lavaan для вычисления трех оценок FMI, приведен в Приложении A.3, к) коэффициента регрессии (β). Данные были смоделированы из модели пути Y = β X + E , где X и Y следовали стандартным нормальным распределениям (т. Е. Среднему значению 0 и стандартному отклонению 1), β всегда было 0,4. E , следовательно, было нормальным распределением со средним значением 0 и стандартным отклонением 1-β2 = 0,92. Размеры выборки составляли N, = 50, 100, 200 и 500. Чтобы вычислить смещение оценок FMI выборки, значения псевдопопуляции FMI были вычислены из дополнительного моделирования однократной репликации с N = 1. , 000, 000.

Условия механизма отсутствующих данных: MCAR, линейный MAR (MAR-L) и нелинейный MAR (MAR-NL), с отсутствующими значениями на X при уровнях популяции 0,2, 0,4 и 0,6. Чтобы избежать механизма NMAR, недостающие значения были присвоены только X , с пропущенными коэффициентами π _mis = 20, 40 и 60%. Так как пропуски были присвоены только одной из двух переменных, общие показатели пропуска составили соответственно 10, 20 и 30%. В особом случае MCAR каждому значению X был присвоен независимый шанс пропуска π _mis .Для условий MAR мы специально выбрали очень сильные механизмы отбора в условиях MAR, поскольку слабые механизмы MAR имеют тенденцию вести себя аналогично друг другу и MCAR. Выбор сильных механизмов отбора позволяет нам противопоставить различия между различными условиями MAR. Для этих условий MAR отсутствие X было обусловлено Y .

Согласно MAR-L, значения X считались пропущенными с высокой вероятностью, когда соответствующие значения Y были выше определенного порогового значения.Для реализации этого механизма использовалось единое правило отсечения. Когда Y было выше значения отсечения процентиля y _cut , пропускная способность на X составляла π ₁ = 90%; ниже этого порогового значения коэффициент пропусков для X составлял π ₂ = 10%. В каждом условии значение y _разрез было вычислено из теоретического π _c процентиля распределения совокупности Y , где π _c = (π _mis −π ₁ ) / (π ₂ −π ₁ ) = 0.875, 0,625 и 0,375. Это дает линейный механизм MAR с каждой переменной долей пропуска π _mis = 20, 40 и 60%, соответственно. Поскольку Y следовало стандартному нормальному распределению, отсечки для каждого условия пропущенной скорости были соответственно y _cut = 1,15, 0,32 и -0,32.

MAR-NL моделировался с использованием двух отсечок: y _{разрез 1} и y _{разрез 2} .Когда Y было либо выше y _{разрез 1} или ниже y _{разрез 2} , недостающий коэффициент составлял π ₁ = 90%; между этими двумя пороговыми значениями коэффициент пропусков составил π ₂ = 10%. Пороги представляли собой теоретические 50% ± 0,5π _c процентили распределения населения Y , где 0,5π _c = 0,4375, 0,3125 и 0,1875. Поскольку Y следовало стандартному нормальному распределению, отсечки для каждого условия были соответственно y _{cut 1} = 1. 3, j) для факторной корреляции (ϕ) и факторных нагрузок (λs).Двумя скрытыми факторами были F ₁ и F ₂ , и каждый фактор включал в себя четыре индикатора: X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ измерено F ₁ и Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ , Y ₄ измерено F ₂ . Все индикаторы, факторы и ошибки измерения следовали стандартному нормальному распределению.Эти два фактора коррелировали при ϕ = 0,4. Модель измерения была настроена на равные нагрузки, при этом все значения нагрузки были установлены на λ = 0,49 (см. Дополнительную таблицу 2 для краткого обзора дизайна исследования). Поскольку факторный анализ обычно проводится с большим размером выборки, чем регрессия, размеры выборки были установлены на N = 100, 200, 500 и 1000, исключая условие N = 50 и добавляя условие N = 1000. . ИФМ на уровне «генеральной совокупности» были снова рассчитаны по единственной выборке с N = 1 000 000.

Три условия механизма отсутствующих данных, MCAR, MAR-L и MAR-NL, были включены в моделирование двухфакторной модели. Половине переменных были присвоены пропущенные значения: X ₂ , X ₄ , Y ₂ и Y ₄ . Переменные X ₁ , X ₃ , Y ₁ и Y ₃ полностью соблюдались. Если механизм отсутствующих данных не был MCAR, отсутствие в X ₂ и X ₄ было обусловлено значением C _X = X ₁ + X ₃ .Точно так же отсутствие на Y ₂ и Y ₄ было обусловлено значением C _Y = Y ₁ + Y ₃ . Пороговые значения для MAR-L и MAR-NL были основаны на стандартизованных значениях C _X и C _Y и были такими же, как и в регрессионной модели. Для каждой переменной, содержащей пропущенные значения, коэффициент пропущенных значений этой переменной составлял π _mis = 20, 40 и 60%.e, j, i — это примерная оценка FMI для i -й репликации. Среднеквадратичное отклонение отражает смещение и изменчивость оценки от цикла к запуску и может быть примерно интерпретировано как среднее отличие от истинного значения совокупности. Учитывая, что мы ожидали, что оценки будут в значительной степени объективными, RMSE в основном использовался как показатель эффективности.

Поскольку RMSE не очень легко интерпретировать, мы включили дополнительный показатель эффективности, 95% ширину ETI, определяемую как разницу между двумя.e, j ¯ плюс и половина ширины ETI. Например, если среднее значение выборочного распределения симметричных FMI равно 0,5, ширина ETI, равная 0,2, показывает, что 95% выборочных FMI попадают в пределы 0,5 ± 0,2 / 2 или [0,4, 0,6].

2.2. Результатов

В этом исследовании мы исследуем ИФМ трех параметров, а именно, коэффициента регрессии (β), факторной нагрузки (λ) и факторной корреляции (ϕ). Для простоты записи числовой индекс j заменяется именем параметра, когда указывается конкретный FMI.1, β. Сводка результатов для каждого условия моделирования доступна в OSF по адресу https://osf.io/xyzt8/.

2.2.1. Значения населения

Как и ожидалось теоретически, три вычисления FMI были идентичны при N = 1 000 000. Следовательно, для значений совокупности мы не делаем различия между δ _{1, j} , δ _{2, j} и δ _{3, j} и просто обозначаем значение как δ _{поп, Дж} .

В модели 1 (регрессия) FMI коэффициента регрессии (β) при коэффициенте пропущенных значений для каждой переменной π _mis = 0,2, 0,4, 0,6, соответственно, составляли δ _{pop, j} = 0,15, 0,33 и 0,52 под MCAR. Согласно MAR-L, это были δ _{pop , β} = 0,29, 0,51, 0,63 и MAR-NL, они были δ _{pop , β} = 0,35, 0,65, 0,79 (как показано в таблице 1). . Как и ожидалось, численность ИФР среди населения увеличивалась по мере увеличения количества пропущенных данных во всех трех условиях механизма недостающих данных.Однако отсутствующие коэффициенты не отражали всю потерю информации. Когда доли отсутствующих данных были равны, ИФР могли сильно различаться в трех условиях механизма недостающих данных. В частности, из-за потери данных на концах распределения в нелинейном состоянии MAR этот механизм отсутствующих данных был связан с самыми высокими FMI.

Таблица 1 . Население ИФР.

В модели 2 (двухфакторная модель) было 4 факторных нагрузки, связанных с переменными, которые содержали недостающие данные, а именно факторные нагрузки X ₂ , X ₄ на F ₁ , и факторные нагрузки Y ₂ , Y ₄ на F ₂ .Поскольку эти загрузки были одинакового размера, а коэффициент пропущенных данных был одинаковым для всех четырех переменных, здесь указывается только FMI для загрузки X ₂ . В соответствии с MCAR, FMI факторной нагрузки (λ) составляли δ _{pop , λ} = 0,20, 0,40 и 0,60 для коэффициентов пропуска для каждой переменной π _mis = 0,2, 0,4 и 0,6, соответственно. . Согласно MAR-L, FMI были δ _{pop , λ} = 0,37, 0,60, 0,71. Согласно MAR-NL, они были δ _{pop , λ} = 0.44, 0,71, 0,83. И снова мы наблюдали, что в каждом состоянии FMI увеличивался по мере увеличения недостающих коэффициентов, а условие MAR-NL приводило к наивысшим FMI, за ним следовали MAR-L, а затем MCAR.

Паттерн различий между механизмами пропущенных данных, однако, не соблюдался для ИФР факторной корреляции (ϕ) в Модели 2. ИФМ с коэффициентом пропущенных данных на каждую переменную π _mis = 0,2, 0,4 и 0.6 соответственно составили δ _{pop , ϕ} = 0.13, 0,26, 0,38 в MCAR, δ _{pop , ϕ} = 0,14, 0,27, 0,38 в MAR-L и δ _{pop , ϕ} = 0,14, 0,28 и 0,39 в MAR-NL. β была в целом приемлемой для MCAR, но не для MAR-L и MAR-NL.В обоих условиях MAR хорошие характеристики были достигнуты только при N = 500 и π _mis = 0,2.

Для более интуитивной иллюстрации систематической ошибки и изменчивости на рисунках 1–3 показаны сглаженные плотности 1000 повторений в каждом состоянии. Мы можем видеть, что почти все распределения выборки сосредоточены вокруг значения совокупности, за исключением верхних правых панелей на Рисунке 3, которые соответствуют небольшому размеру выборки, высокому проценту пропусков и нелинейным условиям MAR.Эти распределения, однако, не очень плотно упаковываются вокруг значения генеральной совокупности, за исключением случаев, когда размер выборки составляет 500, и только тогда, когда либо коэффициент пропущенных данных был низким, либо отсутствующим механизмом был MCAR.

Рисунок 1 . Выборочное распределение FMI для коэффициентов регрессии в MCAR. Строки панелей соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500. Столбцы панелей соответствуют коэффициентам пропусков для каждой переменной 20, 40 и 60% или общему количеству пропущенных записей для совокупности 10, 20 и 30%.Значение FMI популяции на каждой панели представлено вертикальной черной пунктирной линией. Выборочные распределения трех оценок практически идентичны в простой регрессии.

Рисунок 2 . Выборочное распределение FMI для коэффициентов регрессии в линейном MAR. Строки панелей соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500. Столбцы панелей соответствуют коэффициентам пропусков для каждой переменной 20, 40 и 60 или общим коэффициентам пропусков для совокупности 10, 20 и 30 %.Значение FMI популяции на каждой панели представлено вертикальной черной пунктирной линией. Выборочные распределения трех оценок практически идентичны в простой регрессии.

Рисунок 3 . Выборочное распределение FMI для коэффициентов регрессии в нелинейной MAR. Строки панелей соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500. 1, j, когда размер выборки был небольшим.3, j столкнется с этой проблемой не более чем в 3% случаев, даже если коэффициент пропущенных переменных равен 0,6. См. Дополнительные таблицы 3, 4 для оценки количества неудачных или неправильных оценок для факторных корреляций и факторных нагрузок, соответственно. Следующие результаты были получены путем исключения всех случаев НО и отрицательных значений при агрегировании выборочных оценок FMI.

Выборочные FMI факторной корреляции (ϕ) были в значительной степени несмещенными в MCAR, или когда механизм был MAR, но размер выборки был 200 или выше (см. Таблицы 3–5).2, ϕ показал наименьшее количество смещения, давая исходные значения смещения, очень близкие к 0,05 или ниже во всех условиях.

Таблица 3 . Смещение, RMSE и 95% равный интервал ширины FMI факторной корреляции при MCAR.

Таблица 4 . Смещение, RMSE и 95% -ный равносторонний интервал FMI факторов корреляции при линейной MAR.

Таблица 5 . Смещение, среднеквадратичное отклонение и ширина интервала равных хвостов 95% FMI факторов корреляции при нелинейной MAR.

Хотя ИФР совокупности факторов корреляции были довольно низкими, их оказалось трудно оценить точно. Как показано на рисунках 4–6, выборочное распределение оценок FMI было очень широким и показало значительную систематическую ошибку при малых размерах выборки. Хотя систематическая ошибка отсутствовала при больших размерах выборки, оценки могли быть близки к значению генеральной совокупности только тогда, когда коэффициент пропущенных данных был низким. Как видно из таблиц 3–5, когда коэффициент пропусков для каждой переменной был π _mis = 0.3, ϕ дает наилучшие характеристики, показывая наименьшее среднеквадратичное значение и ширину ETI 95%.

Рисунок 4 . Выборочное распределение FMI для факторных корреляций в MCAR. Строки панелей соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500. Столбцы панелей соответствуют коэффициентам пропусков для каждой переменной 20, 40 и 60% или общему количеству пропущенных записей для совокупности 10, 20 и 30%. Значение FMI популяции на каждой панели представлено вертикальной черной пунктирной линией.

Рисунок 5 .Выборочное распределение FMI для факторных корреляций в линейной MAR. Строки панелей соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500. Столбцы панелей соответствуют коэффициентам пропусков для каждой переменной 20, 40 и 60% или общему количеству пропущенных записей для совокупности 10, 20 и 30%. Значение FMI популяции на каждой панели представлено вертикальной черной пунктирной линией.

Рисунок 6 . Выборочное распределение FMI для факторных корреляций в нелинейной MAR. Строки панели соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500.Столбцы панели соответствуют коэффициентам пропусков для каждой переменной 20, 40 и 60% или общим коэффициентам пропусков для населения 10, 20 и 30%. Значение FMI популяции на каждой панели представлено вертикальной черной пунктирной линией.

По сравнению с FMI с факторной корреляцией, FMI с факторной нагрузкой работали намного лучше в Модели 2. Как и в моделировании популяции, здесь мы сообщаем о FMI для загрузки X ₂ на F 1. Результаты для модели другие нагрузки X ₄ , Y ₂ и Y ₄ в значительной степени идентичны.В целом, как показано на рисунках 7–9, выборочные ИФР факторных нагрузок показали небольшую систематическую ошибку и, как правило, были бы намного ближе к значениям генеральной совокупности. Как показано в дополнительных таблицах 5–7, смещение, RMSE и 95% ширина ETI были удовлетворительными для всех трех оценок, когда размер выборки составлял N = 500 или больше. При N = 200, FMI работали хорошо только тогда, когда отсутствующим механизмом был MCAR, а коэффициент пропуска на переменную составлял 0,2. При N = 100 все три оценки выполнялись плохо, но δ ^ 3, λ было ближе к приемлемым характеристикам, давая 95% ширины ETI, равной 0.2, λ.

Рисунок 7 . Выборочное распределение FMI для факторных нагрузок в MCAR. Строки панелей соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500. Столбцы панелей соответствуют коэффициентам пропусков для каждой переменной 20, 40 и 60% или общему количеству пропущенных записей для совокупности 10, 20 и 30%. Значение FMI популяции на каждой панели представлено вертикальной черной пунктирной линией.

Рисунок 8 . Выборочное распределение FMI для факторных нагрузок в линейной MAR.Строки панелей соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500. Столбцы панелей соответствуют коэффициентам пропусков для каждой переменной 20, 40 и 60% или общему количеству пропущенных записей для совокупности 10, 20 и 30%. Значение FMI популяции на каждой панели представлено вертикальной черной пунктирной линией.

Рисунок 9 . Выборочное распределение FMI для факторных нагрузок в нелинейной MAR. Строки панели соответствуют размерам выборки N = 50, 100, 200 и 500.Столбцы панели соответствуют коэффициентам пропусков для каждой переменной 20, 40 и 60% или общим коэффициентам пропусков для населения 10, 20 и 30%. Значение FMI популяции на каждой панели представлено вертикальной черной пунктирной линией.

3. Пример анализа

Здесь мы приводим пример того, как получить FMI из пакета lavaan (версия 0.6-7 и выше) в R , используя набор данных Holzinger and Swineford (1939) и смоделированные отсутствующие данные MCAR. Пример заимствован из книг Savalei и Rosseel (ress).Набор данных, доступный через пакет lavaan , содержит результаты тестов на когнитивные способности 301 школьника. Данные для этого примера можно загрузить в рабочее пространство R с помощью следующего кода.

В целях демонстрации мы проведем подтверждающий факторный анализ с тремя коррелированными факторами: зрительные навыки, вербальные навыки и скорость мышления. Каждый фактор измеряется тремя тестами с именами переменных от x1 до x9 в наборах данных в соответствии с моделью, заданной синтаксисом модели lavaan ниже.

Поскольку набор данных не содержит пропущенных данных, мы введем отсутствие MCAR путем случайного удаления 61 значения из каждой переменной независимо, что приведет к общему коэффициенту пропущенных данных в 20%.

Подготовив пример данных и синтаксис модели, мы подгоняем данные к модели CFA и получаем FMI с помощью следующего кода.

Параметр std.lv = TRUE фиксирует все отклонения скрытых факторов до 1, позволяя свободно оценивать все нагрузки, в то время как missing = ~ ml ~ просит lavaan обработать недостающие данные с помощью FIML.Функция parameterEstimates извлекает результаты из подгонки модели, где опция fmi = TRUE запрашивает оценки FMI из лавы вместе с оценками параметров. Параметр remove.nonfree = TRUE пропускает параметры, которые не могут быть свободно оценены из выходных данных — в этом случае дисперсии скрытых факторов не печатаются в выходной таблице, поскольку они были зафиксированы на 1. 1 для оценок FMI.3 = 0,20.

Таблица 6 . Результаты анализа примера.

В целом, максимальная оценка FMI в модели составляет 0,31. Соответствующий WIF равен 1 / 1–0,31 = 1,2, что указывает на предполагаемое увеличение ширины доверительного интервала на 20% из-за отсутствия данных. Отчетность об этих ИФР вместе с анализом эмпирических данных даст читателям лучшее представление о том, насколько присутствие отсутствующих данных повлияло на эффективность оценок параметров, особенно при сравнении исследований, в которых ИФР могут отличаться даже при одинаковых отсутствующих ставках.Полный код R этого примера приведен в Приложении А, а сводка вариантов лавы трех оценок приведена в Дополнительной Таблице 1.

4. Обсуждение

Текущее имитационное исследование предполагает, что для оценки ИФР может потребоваться относительно большой размер выборки. Выборочные оценки FMI были в значительной степени непредвзятыми, даже в очень маленьких выборках с N = 50, что типично для регрессионного анализа. Однако при таком небольшом размере выборки оценки были неточными и сильно варьировались от выборки к выборке, особенно когда процент пропусков был высоким.Когда частота пропусков была достаточно низкой (π _mis = 0,2, 0,4; соответствует 10–20% общей доли пропусков), размеры выборки в несколько сотен, которые типичны для моделей структурных уравнений, могли дать достаточно эффективные оценки. Однако при общем уровне пропусков 30% для получения точных оценок потребуется размер выборки, превышающий 1000. Стоит отметить, что мы использовали очень сильные механизмы отбора в условиях MAR-L и MAR-NL, чтобы сопоставить результаты с MCAR.2, j, который был основан на структурированной модели, его производительность в этих расчетах была в целом более благоприятной.

При моделировании исследуется FMI в FIML, но результаты должны быть обобщены на FMI, рассчитанный на основе MI с большим количеством вменений. В MI ИФР концептуально определяется отношением дисперсии между вменениями к сумме дисперсий внутри и между вменениями. По мере того, как количество вменений приближается к бесконечности, это соотношение становится эквивалентным коэффициенту увеличения дисперсии из-за отсутствия данных по сравнению с дисперсией в наблюдаемых данных, как оценивается на основе FIML.Для имитационных исследований FMI может быть более затратным с точки зрения вычислений в MI, поскольку оценка производится на заключительном этапе анализа и часто требует большого количества вменений (более 100) для достижения приемлемого уровня точности (Harel, 2007). Для предметного исследования исследователь может просто выбрать между FIML и MI в качестве метода оценки FMI на основе метода недостающих данных, который он уже использует для получения оценок параметров модели.

Насколько нам известно, это исследование является первым, в котором рассматриваются свойства выборочных FMI, рассчитанных с использованием FIML.Таким образом, мы сосредоточились на двух относительно простых и часто используемых моделях, с тремя выбранными механизмами пропущенных данных, чтобы сопоставить влияние конкретного механизма на значения FMI и подчеркнуть, что эти значения не совпадают с коэффициентами пропущенных данных. В будущих исследованиях может потребоваться расширить условия исследования, например, путем контроля количества отсутствующих шаблонов, изучения того, как изменение значений параметров в модели (таких как коэффициент регрессии) может изменить свойства оценок FMI.1, j, теоретически лучше, так как это единственная непротиворечивая оценка. Однако вопрос о том, превратится ли это теоретическое преимущество в практическое, необходимо исследовать в имитационных исследованиях. Было бы также полезно разработать начальную SE / CI для выборочных ИФР, чтобы исследователи имели лучшее представление о точности оценок ИФР в их конкретной выборке.

Хотя наше внимание было сосредоточено на оценке свойств выборочных оценок ИФР с точки зрения того, насколько хорошо они служили оценками соответствующих ИФР совокупности, свойства самих ИФР совокупности могут представлять интерес, и это тема, которую мы исследуем в другой работе.В ходе этой продолжающейся работы мы обнаруживаем, что потеря информации может происходить неинтуитивно и непредсказуемо, а закономерности в популяционных ИФР, наблюдаемых в одном контексте, не всегда обобщаются на другой контекст. Например, основываясь на значениях FMI на уровне популяции, которые мы получили для условий в этом исследовании, можно сделать вывод, что популяционные FMI факторных корреляций, как правило, нечувствительны к механизмам пропущенных данных (например, средние строки Таблица 1). Однако так было не всегда.В условиях, не указанных здесь, когда все показатели F ₁ полностью соблюдались, а показатели F ₂ содержали недостающие данные, обусловленные показателями F ₁ , FMI фактора корреляция стала более чувствительной к механизму отсутствующих данных. Хотя численность населения, оцененная выборочными ИФР, может демонстрировать разные закономерности, мы не ожидаем, что сами оценки выборочных ИФР будут демонстрировать кардинально разные свойства в этих альтернативных сценариях.

Оценки FMI через FIML доступны в самых последних выпусках lavaan (версия 0.6-7 и выше), а пример кода R для их получения приведен в Приложении A. Мы рекомендуем эмпирическим исследователям регулярно изучать и сообщать ИФР по ключевым параметрам в рамках предметного анализа. ИФР фиксируют сложное взаимодействие между многочисленными факторами, такими как недостающие коэффициенты, механизмы недостающих данных и параметры модели, иногда неинтуитивно. Они могут предоставить важную дополнительную информацию о том, как на стандартные ошибки, доверительные интервалы и тесты гипотез могло повлиять присутствие отсутствующих данных.Для методистов, проводящих имитационные исследования с отсутствующими данными, должны быть рассчитаны и зарегистрированы ИФР популяции в различных условиях дизайна исследования, чтобы обеспечить лучший контекст эффективности изучаемых методов с отсутствующими данными.

Заявление о доступности данных

Наборы данных, представленные в этом исследовании, можно найти в онлайн-репозиториях. Имена репозитория / репозиториев и номера доступа можно найти по адресу: https://osf.io/xyzt8/.

Авторские взносы

VS разработала уравнения, статистические свойства и детали реализации для оценок FMI.LC разработала и выполнила моделирование и написала первоначальный проект рукописи. Все авторы внесли свой вклад в редактирование рукописи.

Финансирование

Это исследование было поддержано грантом RGPIN-2015-05251 Совета по естественным наукам и инженерным исследованиям Канады (NSERC) для VS.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Примечание издателя

Все утверждения, выраженные в этой статье, принадлежат исключительно авторам и не обязательно отражают претензии их дочерних организаций или издателей, редакторов и рецензентов. Любой продукт, который может быть оценен в этой статье, или заявление, которое может быть сделано его производителем, не подлежат гарантии или одобрению со стороны издателя.

Дополнительные материалы

Дополнительные материалы к этой статье можно найти в Интернете по адресу: https: // www.frontiersin.org/articles/10.3389/fpsyg.2021.667802/full#supplementary-material

Сноски

Список литературы

Эллисон П. Д. (1987). Оценка линейных моделей с неполными данными. Sociol. Методология . 17, 71–103. DOI: 10.2307 / 271029

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Арбакл, Дж. Л. (1996). Оценка полной информации при наличии неполных данных . Махва, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

PubMed Аннотация | Google Scholar

Чен, Л., Савалей, В., Ремтулла, М. (2020). Двухэтапный подход максимального правдоподобия для пропущенных данных на уровне элементов в регрессии. Behav. Res. Методы 52, 2306–2323. DOI: 10.3758 / s13428-020-01355-x

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Коллинз, Л. М., Шафер, Дж. Л., и Кам, К.-М. (2001). Сравнение инклюзивных и ограничительных стратегий в современных процедурах отсутствия данных. Psychol. Методы 6, 330–351. DOI: 10.1037 / 1082-989X.6.4.330

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Грэм, Дж. У., Тейлор, Б. Дж., Ольховски, А. Э. и Камсилль, П. Э. (2006). Запланированные недостающие дизайны данных в психологических исследованиях. Psychol. Методы 11, 323–343. DOI: 10.1037 / 1082-989X.11.4.323

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Holzinger, K. J., and Swineford, F. (1939). Исследование в факторном анализе: устойчивость двухфакторного решения. Доп.Educ. Моногр . 48: xi + 91.

Google Scholar

Литтл, Р. Дж. А., и Рубин, Д. Б. (1987). Статистический анализ с отсутствующими данными . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Wiley.

Google Scholar

Литтл, Р. Дж. А., Рубин, Д. Б. (2002). Статистический анализ с отсутствующими данными, 2-е изд. . Ряд Уайли в вероятностях и статистике. Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. DOI: 10.1002 / 978111

63

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мутен, Б., Каплан Д. и Холлис М. (1987). О моделировании структурным уравнением с данными, которые не пропадают полностью случайно. Психометрика 52, 431–462. DOI: 10.1007 / BF022

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Орчард, Т., и Вудбери, М.А. (1972). «Принцип недостающей информации: теория и приложения», в Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Volume 1: Theory of Statistics (Berkeley, CA: University of California Press), 697–715.DOI: 10.1525 / 9780520325883-036

CrossRef Полный текст | Google Scholar

R Основная команда (2019). R: язык и среда для статистических вычислений . Вена: Фонд R для статистических вычислений.

Google Scholar

Рао, К. Р. (1973). Линейный статистический вывод и его приложения . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. DOI: 10.1002 / 9780470316436

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Рубин, Д.Б. (1987). Множественное вменение за неполучение ответов в опросах . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. DOI: 10.1002 / 9780470316696

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Савалей В. и Бентлер П. М. (2005). Статистически обоснованный метод попарного ml для неполных ненормальных данных: сравнение с прямым ml и попарным ADF. Struct. Equat. Модель. Мультидиск. J . 12, 183–214. DOI: 10.1207 / s15328007sem1202_1

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Савалей, В., и Фальк, К. Ф. (2014). Надежный двухэтапный подход превосходит надежную максимальную вероятность полной информации с неполными ненормальными данными. Struct. Equat. Модель. Мультидиск. J . 21, 280–302. DOI: 10.1080 / 10705511.2014.882692

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Савалей В., Ремтулла М. (2012). О получении оценок доли недостающей информации от максимальной вероятности полной информации. Struct. Equat. Модель. Мультидиск. J . 19, 477–494.DOI: 10.1080 / 10705511.2012.687669

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Савалей В., Ремтулла М. (2017). Нормальная теория двухэтапного оценщика машинного обучения, когда данные отсутствуют на уровне элемента. J. Educ. Behav. Стат . 42, 405–431. DOI: 10.3102 / 1076998617694880

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Savalei, V., and Rosseel, Y. (в печати). Вычислительные возможности для проверки статистики стандартных ошибок с неполными ненормальными данными. Struct. Equat. Модель.

Google Scholar

Салливан Т. Р., Уайт И. Р., Солтер А. Б., Райан П. и Ли К. Дж. (2018). Должно ли множественное вменение быть методом выбора для обработки недостающих данных в рандомизированных испытаниях? Stat. Методы Мед. Res . 27, 2610–2626. DOI: 10.1177 / 0962280216683570

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

van Buuren, S., и Groothuis-Oudshoorn, K. (2011). мыши: многомерное вменение с помощью связанных уравнений в R. J. Stat. Программное обеспечение . 45, 1–67. DOI: 10.18637 / jss.v045.i03

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ю, Дж. Э. (2009). Влияние вспомогательных переменных и множественного вменения на оценку параметров в подтверждающем факторном анализе. Educ. Psychol. Мера . 69, 929–947. DOI: 10.1177 / 00131644025

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Математические значения знаков дроби в скрипте Linear A: вычислительный, статистический и типологический подход

https: // doi.org / 10.1016 / j.jas.2020.105214Получить права и контент

Основные моменты

•

Неопределенные значения дробей линейного типа А рассматриваются с многоцепочечной точки зрения.

•

Мы применили палеографические, типологические и вычислительные модели к нерасшифрованным знакам.

•

Используя оптимальность, мы установили убедительные значения для линейной системы дробей А.

•

Результаты, достигнутые с помощью этого синергетического подхода, сходятся последовательно и независимо.

•

Предлагаемые значения объясняют вывод линейных знаков B для измерения.

Абстрактное

Минойское линейное письмо A до сих пор остается нерасшифрованным письмом, которое в основном использовалось в административных целях на Крите бронзового века. Одна из самых загадочных особенностей — точные математические значения системы числовых дробей. Цель данной статьи — обратиться к этой проблеме с помощью многоуровневой методологии, которая включает палеографическую экспертизу и статистические, вычислительные и типологические подходы.Принимая во внимание предыдущие анализы, которые предлагали гипотетические значения для некоторых фракций, мы расширили наше исследование на оценку значений для некоторых проблемных фракций. Достигнутые результаты, основанные, с одной стороны, на тщательном палеографическом анализе, а с другой — на вычислительных, статистических и типологических стратегиях, демонстрируют замечательную конвергенцию и указывают на систематическое присвоение математических значений знакам линейной дроби A. Этот вклад устанавливает повестку дня для комбинаторного, нового и непредвзятого подхода, который может помочь нам лучше понять некоторые актуальные проблемы, связанные с древними нерасшифрованными системами письма.

Ключевые слова

Линейный сценарий A

Минойский Крит

Знаки дроби

Программирование ограничений

Числовые обозначения

Рекомендуемые статьиЦитирующие статьи (0)

© 2020 Авторы. Опубликовано Elsevier Ltd.

Рекомендуемые статьи

Цитирующие статьи

Анализ тенденций концентрации в воздухе и скорости снижения антропогенного выброса CO2

Аткинсон, А.С., Купман, С.Дж., и Шепард, Н.: Обнаружение потрясений: выбросы и разрывы во временных рядах, J. Econometrics, 80, 387–422, 1997. a

Бакастоу, Р. и Килинг, К. Д .: Углекислый газ и радиоуглерод в атмосфере в естественный цикл: II. Изменения с 1700 г. по 2070 г. геохимическая модель, в: Материалы конференций «Углерод и биосфера»; Аптон, Нью-Йорк, США, 86–135, Брукхейвенские симпозиумы по биологии, 1973 г. a, b

Бакастоу, Р. Б. и Килинг, К. Д .: Модели для прогнозирования будущего атмосферного CO2. концентраций, в: Семинар по глобальному воздействию двуокиси углерода от ископаемое топливо, 72–90, Министерство энергетики США, 1979.a

Ballantyne, AP, Andres, R., Houghton, R., Stocker, BD, Wanninkhof, R., Anderegg, W., Cooper, LA, DeGrandpre, M., Tans, PP, Miller, JB, Alden, К. и Уайт, JWC: Аудит глобального углеродного бюджета: ошибки оценки и их влияние на неопределенность поглощения, Biogeosciences, 12, 2565–2584, https://doi.org/10.5194/bg-12-2565-2015, 2015. a, b, c, d, e

Boden, T. A., Marland, G., and Andres, R.J .: Global, Regional, and National Ископаемое топливо CO ₂ Emissions, Oak Ridge National Laboratory, U.S. Департамент of Energy, Ок-Ридж, штат Теннеси, США, доступно по адресу: http://cdiac.ornl.gov/trends/emis/overview_2014.html (последний доступ: 28 июня 2017 г.), 2018. a

Canadell, J. G., Le Quéré, C., Raupach, M. R. , Филд, К. Б., Buitenhuis, E. T., Ciais, P., Conway, T. J., Gillett, N. P., Houghton, R.A., и Марланд, Г.: Вклад в ускорение роста атмосферного CO ₂ от хозяйственная деятельность, углеродоемкость и эффективность естественных стоков, P. Natl. Акад. Sci. США, 104, 18866–18870, https: // doi.org / 10.1073 / pnas.0702737104, 2007a. a, b

Канаделл, Дж. Г., Патаки, Д., Гиффорд, Р., Хоутон, Р., Луо, Ю., Раупах, М., Смит П. и Штеффен В. Насыщение земного стока углерода. 59–78, https://doi.org/10.1007/978-3-540-32730-1_6, 2007b. а

Кук, Р. Д .: Обнаружение важных наблюдений в линейной регрессии. Технометрика, 19, 15–18, 1977 г. a

Кук, Р.Д .: Влиятельные наблюдения в линейной регрессии, J. Являюсь. Стат. Assoc., 74, 169–174, 1979. a

Dlugokencky, E.и Танс, П .: Тенденции изменения содержания углекислого газа в атмосфере, на национальном уровне. Управление океанических и атмосферных исследований, Лаборатория исследования системы Земли (NOAA / ESRL), доступно по адресу: http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/global.html последний доступ: 9 марта 2018 г. a

Дурбин, Дж. И Купман, С. Дж .: Анализ временных рядов методами пространства состояний, 38, Oxford University Press, 2012. a, b, c, d, e

Дурбин, Дж. И Уотсон, Г. С .: Тестирование последовательной корреляции по методу наименьших квадратов Регрессия, Биометрика, 58, 1–19, 1971.a, b

Энтинг, И. Г. и Пирман, Г. И.: Использование наблюдений при калибровке и Проверка моделей углеродного цикла, 425–458, Springer New York, New York, Нью-Йорк, https://doi.org/10.1007/978-1-4757-1915-4_21, 1986. a

Fernández-Martínez, M., Sardans, J., Chevallier, F., Ciais, P., Оберштайнер, М., Викка, С., Канаделл, Дж. Г., Бастос, А., Фридлингштейн, П., Ситч, С., Пиао, С. Л., Янссенс, И. А., и Пеньуэлас, Дж.: Глобальные тенденции в поглотителях углерода и их взаимосвязь с CO2 и температурой, Nat.Клим. Смена, 9, 73–79, https://doi.org/10.1038/s41558-018-0367-7, 2019. a

Фридлингштейн, П., Кокс, П., Беттс, Р., Бопп, Л., фон Бло, В., Бровкин, В., Кадул, П., Дони, С., Эби, М., Фунг, И., Бала, Г., Джон, Дж., Джонс, К., Джус, Ф., Като, Т., Кавамия, М., Норр, В., Линдси, К., Мэтьюз, Х. Д., Раддац, Т., Райнер, П., Рейк, К., Рокнер, Э., Шницлер, К.-Г., Шнур, Р., Штрассманн, К., Уивер, А. Дж., Йошикава, К., и Цзэн, Н.: Анализ обратной связи между климатом и углеродным циклом: результаты модели C4MIP Взаимное сравнение, Дж.Климат, 19, 3337–3353, г. https://doi.org/10.1175/JCLI3800.1, 2006. a

Frölicher, T. L., Joos, F., Raible, C. C., and Sarmiento, J.L .: Реакция атмосферного CO2 на извержения вулканов: роль ENSO, сезон и изменчивость, Global Biogeochem. Cy., 27, 239–251, https://doi.org/10.1002/gbc.20028, 2013. a

Глор М., Сармиенто Дж. Л. и Грубер Н .: Что можно узнать о климатической обратной связи углеродного цикла из фракции CO ₂ , переносимой по воздуху ?, Atmos. Chem. Phys., 10, 7739–7751, https: // doi.org / 10.5194 / acp-10-7739-2010, 2010. a, b, c, d, e, f, g

Грейнджер, К. У. Дж. И Ньюболд, П .: Ложная регрессия в эконометрике, J. Эконометрика, 2, 111–120, 1974. a

Хансис, Э., Дэвис, С. Дж., И Понграц, Дж .: Актуальность методологического выбора для учета потоков углерода при изменении землепользования, Global Biogeochem. Cy., 29, 1230–1246, 2015. a

Houghton, R.A. и Nassikas, A.A .: Глобальные и региональные потоки углерода из изменение землепользования и растительного покрова 1850-2015 гг., Global Biogeochem.Cy., 31, 456–472, 2017. a

Джарк, К. М. и Бера, А. К .: Тест на нормальность наблюдений и Остатки регрессии, Int. Стат. Rev., 2, 163–172, 1987. a, b

Keeling, C.D .: Цикл углекислого газа: модели коллектора для изображения Обмен углекислого газа в атмосфере с океанами и наземными растениями, 251–329, Springer US, Бостон, Массачусетс, https://doi.org/10.1007/978-1-4684-1986-3_6, 1973. a

Кинан, Т. Ф., Прентис, И. К., Канаделл, Дж. Г., Уильямс, К. А., Ван, Х., Раупах, М., Коллатц, Дж. Дж .: Недавняя пауза в темпах роста атмосферный CO ₂ из-за повышенного поглощения углерода землей, Нат. Commun., 7, 13428, https://doi.org/10.1038/ncomms13428, 2016. a

Knorr, W .: Доля переносимых по воздуху антропогенных выбросов CO2 увеличение ?, Geophys. Res. Lett., 36, L21710, https://doi.org/10.1029/2009GL040613, 2009. a, b, c, d, e, f

Ле Кере, К., Раупак, М. Р., Канадель, Дж. Г., Марланд, Г., Бопп, Л., Ciais, P., Conway, T.Дж., Дони, С. К., Фили, Р. А., Фостер, П., Фридлингштейн, П., Герни, К., Хоутон, Р. А., Хаус, Дж. И., Хантингфорд, К., Леви, П. Э., Ломас, М. Р., Маджкут, Дж., Мецл, Н., Ометто, Дж. П., Петерс, Г. П., Прентис, И. К., Рандерсон, Дж. Т., Бег, С. В., Сармиенто, Дж. Л., Шустер У., Ситч С., Такахаши Т., Виови Н., ван дер Верф Г. Р. и Вудворд, Ф. И .: Тенденции в источниках и стоках диоксида углерода, Nat. Geosci., 2, 831–836, 2009. a, b

Le Quéré, C., Andrew, R.M., Friedlingstein, P., Sitch, S., Pongratz, J., Manning, AC, Korsbakken, JI, Peters, GP, Canadell, JG, Jackson, RB, Boden, TA, Tans, PP, Andrews, OD, Arora, VK, Bakker, DCE , Барберо, Л., Беккер, М., Беттс, Р.А., Бопп, Л., Шевалье, Ф., Чини, Л.П., Сиа, П., Коска, К.Е., Кросс, Дж., Карри, К., Гассер, Т., Харрис, И., Хаук, Дж., Хаверд, В., Хоутон, Р. А., Хант, К. В., Хертт, Г., Ильина, Т., Джайн, А. К., Като, Э., Каутц, М., Килинг, Р.Ф., Кляйн Гольдевийк, К., Кёртцингер, А., Ландшютцер, П., Лефевр, Н., Лентон, А., Линерт, С., Лима, И., Ломбардоцци, Д., Метцль, Н., Миллеро, Ф., Монтейро, ПМС, Манро, Д.Р., Набель, JEMS, Накаока, С., Нодзири, Ю., Падин, XA, Перегон, А., Пфейл, Б., Пьеро, Д., Поултер, Б., Редер, Г., Реймер, Дж., Роденбек, К., Швингер, Дж. ., Сефериан, Р., Скьельван, И., Стокер, Б.Д., Тиан, Х., Тилбрук, Б., Тубьелло, Ф.Н., ван дер Лаан-Луйкс, И.Т., ван дер Верф, Г.Р., ван Хёвен, С., Виови, Н., Вуйчард, Н., Уокер, А.П., Уотсон, А.Дж., Уилтшир, А.J., Zaehle, S. и Zhu, D .: Global Carbon Budget 2017, Earth Syst. Sci. Данные, 10, 405–448, https://doi.org/10.5194/essd-10-405-2018, 2018. a, b, c, d, e, f

Oeschger, H. and Heimann, M .: Неопределенности предсказаний будущего концентрации CO2 в атмосфере, J. Geophys. Рес.-Оушенс, 88, 1258–1262, https://doi.org/10.1029/JC088iC02p01258, 1983. a

Раупах М.Р .: Экспоненциальные собственные моды углеродно-климатической системы и их значение для соотношений реакций на воздействия, Earth Syst.Dynam., 4, 31–49, https://doi.org/10.5194/esd-4-31-2013, 2013. a, b, c, d

Raupach, MR, Canadell, JG, and Le Quéré, C .: Антропогенный и биофизический вклад в увеличение скорости роста атмосферного CO2 и его фракции в воздухе, Biogeosciences, 5, 1601–1613, https://doi.org/10.5194/bg-5-1601-2008, 2008. a, b

Раупах, М. Р., Глор, М., Сармьенто, Дж. Л., Канадель, Дж. Г., Фрёличер, Т. Л., Гассер, Т., Хоутон, Р. А., Ле Кере, К., и Трудингер, К. М.: Снижение скорости поглощения атмосферного CO ₂ по стокам суши и океана, Biogeosciences, 11, 3453–3475, https: // doi.org / 10.5194 / bg-11-3453-2014, 2014. a, b, c, d, e, f, g, h, i

Rayner, PJ, Stavert, A., Scholze, M., Ahlström, A ., Эллисон, CE, и Ло, RM: Последние изменения в глобальном и региональном углеродном цикле: анализ диагностики первого порядка, Biogeosciences, 12, 835–844, https://doi.org/10.5194/bg-12- 835-2015, 2015. a, b, c

Египетские единицы Доли

Египетская единица Дроби

Представление рациональных чисел в виде суммы единиц фракции восходит к временам Древнего Египта.Сегодня эта тема выживает в основном как источник математических головоломок и абстрактных задач. теория чисел, но это также исторический и антропологический интерес, поскольку он проливает свет на мыслительный процесс людей, которые жили в самом начале записанной истории человечества. Приведенное ниже обсуждение фокусируется на в первую очередь на предположениях относительно методов, которые могли быть использованы древние египтяне строили свои столы. Статьи, касающиеся чисто Теоретико-числовые аспекты единичных дробей содержатся в Теории чисел. раздел этого сайта.

1. Папирус Райнда 2 / N Таблица

Один из самых загадочных эпизодов в истории человечества. Мысль — это 2000-летнее господство египетских единичных дробей. Мы можем, по крайней мере, частично, реконструировать задействованные арифметические манипуляции, но основная причина или мотив выражения дробных величин как сумм единиц фракции остается загадкой.Был ли это просто громоздкий стиль письма? которые сохранялись на протяжении многих веков просто из уважения к традиционным формы, или он выражал реальный образ мышления, который с тех пор забыли?

В начале почти каждой всеобщей истории математике мы находим описание того, как древние египтяне работали с фракции почти исключительно в единицах единиц фракций.Например, вместо того, чтобы сказать, что 2/5 моей земли было затоплено, они сказали бы 1/3 + 1/15 моей земля была затоплена. Одна из самых ранних письменных записей Древнего Египта. (Переписано около 1650 г. до н.э. из источника, датируемого примерно 1850 г. до н.э. или ранее), известный как Математический папирус Райнда, содержит таблицу выражение дробей формы 2 / n как суммы двух, трех или четырех единиц дроби с разными знаменателями. Таблица покрывает 2 / n для n до 101, хотя дроби с «четным» знаменателем, т.е.г., 2/4, 2/6, и т. д., опущены, показывая, что они ясно осознали очевидную эквивалентность из них в приведенных формах 1/2, 1/3 и т. д.

Первая запись в таблице — 2/3, к которой они присвоено выражение 1/2 + 1/6. Все остальные записи в таблице вида 2 / (3k) присваивается выражение 1 / (2k) + 1 / (6k), что предполагает, что они сознательно относились ко всем знаменателям, делящимся на 3, как к единому семейству, как и все знаменатели, делящиеся на 2, неявно рассматривались как одна семья.

Из оставшихся записей таблицы следующие 2/5, к которым они присвоили выражение 1/3 + 1/15. Все, кроме одного из оставшихся знаменателям в таблице, которые делятся на 5, присваивается простой кратное этому выражению, то есть для 2 / (5k) они использовали 1 / (3k) + 1 / (15k). Точно так же они присвоили 1/4 + 1/28 записи таблицы 2/7, а затем «просеивали» out «все остальные знаменатели, делящиеся на 7, используя выражения форма 1 / (4k) + 1 / (28k).Наконец, они присвоили таблице 1/6 + 1/66. запись 2/11, а затем использовали 1 / (6k) + 1 / (66k) для 2 / (11k) с k = 5.

Prime 11 кажется там, где остановили эту процедуру, что согласуется с тем фактом, что таблица распространялась только на знаменатели до 101, поэтому все композиты отсеиваются по простым числам меньше 11. Примечательно, что египтяне 1850 г. до н.э. (и, вероятно, намного раньше) уже разработал эту грубую версию «Сита Эратосфен «, и, казалось, уловил разницу между простые и составные числа.По общему признанию, сито не идеальное, по крайней мере не в соответствии с нашим нынешним пониманием. Во-первых, число 55 должно были отсеяны как кратные 5, но по какой-то причине они решили рассматривать его как кратное 11. Кроме того, составные числа 35, 91 и 95 были очевидно, не рассматривались как композиты, но были присвоены уникальные представления. Тем не менее общее впечатление очень сильное, что они сознательно отсеивали кратные меньших простых чисел до квадратный корень из наибольшего знаменателя в таблице, а затем обработал оставшиеся простые числа с уникальными представлениями.

Как мы видели, для каждого из малых простых чисел 3,5,7,11 Египтяне выражали 2 / p как сумму двух дробных единиц, используя простую формулу формула

(Та же формула применима и к выражению, которое они присвоено 2/23, хотя это может быть случайным совпадением.) После этих простых чисел и их кратные, были разрешены, записи таблицы для оставшихся простые знаменатели предполагают, что египтяне определили

представления с использованием идентификатора

, где «а» — некоторое удобное круглое число, большее чем п / 2.Чтобы найти оставшиеся члены, разделим величину 2a — p на одну, две или три отдельные части такой, что каждая часть является делителем a. (Вот почему хорошо выбрать раунд число для a, поэтому у него много делителей.) Например, при n = 89 мы выбрали a = 60, что дает разницу 31. Таким образом, нам нужно выразить 31 как сумму три или меньше различных целых чисел, каждое из которых делит 60. Один такой раздел равно 31 = 15 + 10 + 6, что приводит к представлению, которое появляется в Папирус Райнда для 2/89:

На основании этого можно резюмировать таблицу 2 / n в Папирус Райнда, задав значения a, b, (c, (d)) для каждого простого p, такого что 2 / p = 1 / a + 1 / b + (1 / c + (1 / d)).Эти значения представлены в таблице. ниже.

ТАБЛИЦА 1: Краткое изложение Папирус Райнда 2 / n Представления

p 2a-p a b c d Также охватывает эти

— —— — — — — ——————-

3 1 2 6 все кратные 3

5 1 3 15 25, 65, 85

7 1 4 28 49, 77

11 1 6 66 55

23 1 12 276

13 3 8 52 104

17 7 12 51 68

19 5 12 76 114

31 9 20 124 155

37 11 24 111 296

41 7 24 246 328

47 13 30 141 470

53 7 30 318 795

59 13 36 236 531

67 13 40 335 536

71 9 40 568 710

97 15 56 679 776

29 19 24 58 174 232

43 41 42 86 129 301

61 19 40 244 488 610

73 47 60 219 292 365

79 41 60 237 316 790

83 37 60 332 415 498

89 31 60 356 534 890

исключительный ящиков:

35 25 30 42

91 49 70 130

95 25 60 380 570

101 1111 606 101 202 303

Эта таблица вызывает два очевидных вопроса.Во-первых, если предположить египтяне использовали что-то вроде формулы (2), чтобы определить свою общую единицу дробные представления для 2 / p, где p — «большое» простое число, как они выбрали значение «a» и разделение 2a — p из доступных возможностей? Примечательно, что если мы исследуем все возможности и ограничимся лишь трех- и четырехчленные представления, где наименьшее число x в раздел 2a-p больше 1, то в большинстве случаев в Папирусе Райнда встречается выражение для которых a / x минимизируется.Например, единственно возможные решения для p = 43 сотки

перегородка 2н-п

п а 2 а-п х у z а / х

— — —— —- —- —- ——

43 24 5 2 3 12

43 28 13 2 4 7 14

43 30 17 2 15 15

43 30 17 2 5 10 15

43 36 29 2 9 18 18

43 42 41 6 14 21 7

, а изображение, появляющееся в Папирусе Райнда, является тот, у которого a / x = 7.В целом египтяне использовали раствор с минимум a / x для «больших» простых чисел

13, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43, 59, 67, 73, 79, 83, 97

, в то время как они пропустили это для простых чисел

47, 53, 61, 71, 89

В этих «пропущенных» случаях они пропустили минимумы на 2, 6, 1, 3 и 1 соответственно.

Еще один интересный факт, который появляется из обзора всех возможные представления для каждого простого числа таковы, что p = 29 — первое простое число для которого нет трехчленного представления 2 / p (с ограничениями отмечалось выше). Таким образом, неудивительно, что 2/29 — первая запись в Папирус Райнда, где используется четырехчленное представление.

Второй важный вопрос, поднятый в таблице 1, — как объясните четыре исключительных случая.Первые три — это композиты 35, 91 и 95, которые по какой-то причине не просеивались, как остальные композиты. С нашей точки зрения, случай 2/95 = 2 / (5 * 19) следовало просеять. на малое простое число p = 5, давая ему представление 1 / (3k) + 1 / (15k) с k = 19. Вместо этого мы обнаруживаем, что его представление, очевидно, основывалось на «большое» простое число p = 19, т.е. имеет вид 1 / (12k) + 1 / (76k) + 1 / (114k) с k = 5.

Случаи 2/35 и 2/91 еще более необычны, и в В смысле, это самые интригующие записи в таблице.Это единственные два композитных материала, представления которых не являются простыми кратными представления одного из их основных факторов. Примечательно, что в этих двух случаях похоже, что египтяне отказались от нормального мультипликативного разложение до того, что можно было бы назвать «гармонической арифметикой» разложение. Напомним, что у древних греков были определения различных виды «средств», в том числе

Считается, что греки унаследовали эти определения от вавилоняне, но вполне возможно, что они также были известны Египтяне.В частности, гармоническое среднее значение наверняка выглядит египетским , учитывая их близость к единичным дробям. В любом случае заметим, что G (p, q) является не только среднее геометрическое p и q, это также среднее геометрическое A (p, q) и H (p, q), что следует просто потому, что

Другими словами, AH дает альтернативное разложение составное число pq.Это приводит к формуле

, где, конечно, ведущий фактор справа — это единица измерения дробь, потому что p + q четно. Эта формула дает Папирус Райнда представительства

Таким образом, мы можем сказать, что каждая составная запись в Ринде Таблица Papyrus 2 / n основана на разложении n на простые множители.В в большинстве случаев использовалась простая геометрическая факторизация pq, но в двух случаях они использовали арифметико-гармонические коэффициенты AH. (Что касается того, почему числа 35, 91, (и 95) могли быть выделены для особого обращения, см. Приложение I.) оставляет только последнюю запись в таблице 2 / n, которая равна

Эта запись может быть построена по формуле (2) с a = 606 и перегородка 1111 = 202 + 303 + 606, но, кажется, выделяется из другие записи в таблице из-за того, что они кратны 1 / n.Возможно эта запись была просто формальностью, предполагая, что для любого n, не охваченного таблицу (т.е. больше 100), мы можем использовать четырехчленное расширение

, так что это фактически «завершает» таблицу, позволяя нам сказать, что он обеспечивает представление единичной дроби 2 / n для все целых n.Интересно, что формулу (4) можно рассматривать как иллюстрация «совершенства» числа 6 в смысле что сумма делителей равна удвоенному числу, т.е. 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = (2) (6).

Таким образом, таблица 2 / n Папируса Райнда, которая датируется более чем за тысячу лет до Пифагора, кажется, понимание простых и составных чисел, грубая версия «Решета» Эратосфена », знание арифметики, геометрической и гармонической значит, и о «совершенстве» числа 6.Все это кажется предполагают большую теоретическую изощренность, чем обычно приписывают древним египтянам. Были ли они источником этих идей или заимствованы их, возможно, от вавилонян, неясно. (Мы не должны упускать из виду возможность того, что вавилоняне позаимствовали их у египтян.)

2. Папирус Ахмина

Один относительно поздний документ о долях египетских единиц — известный как Ахминский папирус, по-видимому, написанный около 400 г. н.э.Учитывая что материал в Папирусе Райнда датируется 1850 г. до н.э. (или ранее), это показывает, что использование единичных дробей сохранялось в течение очень долгого времени. Это похоже, что ко времени написания Ахминского папируса существовало довольно много сложный критерий выбора записей таблицы. Расширять N / P, проверьте наименьшие решения, в которых ровно k знаменателей делятся через P с использованием сравнения

k сравнение по модулю P

—- ——————————

1 Na = 1

2 Наб = a + b

3 Nabc = ab + ac + bc

4 Nabcd = abc + abd + acd + bcd

с 0

п к = 1 к = 2 к = 3 к = 4

— —— —— ——- ———

2 (9) (3,4) * (2,5,6) (1,2,3,6)

3 (6) (4,5) (1,3,4) * (1,2,5,6)

4 (13) (3,8) (1,4,5) * (1,2,3,7)

5 (7) (2,4) * (2,3,5) (1,2,5,7)

6 (3) * (1,7) (1,2,4) (1,2,3,5)

7 (5) (1,3) * (3,4,7) (1,4,5,6)

8 (15) (1,5) * (2,4,6) (2,3,5,6)

9 (2) * (3,6) (3,4,5) (1,2,4,6)

10 (12) (1,2) * (1,3,6) (1,3,4,5)

11 (14) (3,7) (2,3,4) * (1,2,4,7)

12 (10) (2,6) (2,4,5) (1,2,3,4) *

13 (4) * (3,5) (1,2,6) (1,2,4,5)

14 (11) (1,4) * (1,3,5) (2,3,4,6)

15 (8) (2,3) * (1,2,7) (2,4,5,6)

16 (16) (2,5) (1,2,3) * (1,5,6,7)

Звездочками отмечены решения с наименьшим максимумом срок.Примечательно то, что звездочками также отмечены расширения n / 17 фигурирует в Ахминском папирусе. Это идеальное совпадение. Ясно кто написал, что папирус организовывал решения в

способом, который согласуется с методом, описанным здесь.

Применяя тот же анализ к таблице n / 19 в Ахмин Папирус дает результат

п к = 1 к = 2 к = 3 к = 4

— —— —— ——- ———

2 (10) + (4,6) * (1,5,6) (1,2,3,6) <---

3 (13) (2,8) (3,4,5) * + (1,3,6,7)

4 (5) + (2,3) * (1,2,8) (1,3,4,5) <---

5 (4) + (1,5) (1,2,3) * (2,3,5,6) <---

6 (16) (1,4) * + (4,5,6) (2,3,4,6)

7 (11) (2,6) * + (2,4,7) (1,4,5,6)

8 (12) (6,7) (2,3,5) * + (1,2,4,7)

9 (17) (4,5) (2,3,4) * + (1,2,3,5)

10 (2) * + (3,6) (1,4,5) (1,2,3,4)

11 (7) (1,2) * + (1,3,6) (1,3,4,7)

12 (8) (1,7) (2,4,6) * + (1,2,5,6)

13 (3) * + (1,8) (4,6,7) (2,3,4,5)

14 (15) (1,3) * + (3,5,6) (1,4,6,7)

15 (14) (2,4) * + (1,2,5) (1,3,5,6)

16 (6) (4,7) (1,2,4) * + (1,3,4,6)

17 (9) (3,5) * + (1,4,7) (4,5,6,7)

18 (18) (3,4) * + (1,3,5) (1,3,7,8)

Разложение с наименьшим максимальным знаменателем равно обозначается звездочкой, а тот, который появляется в Ахмине, обозначается значком знак плюс.В этом случае совпадение почти идеальное, всего с тремя следующими исключения

дробь Ахмин Ожидается

——- ——— ——————

2/19 10 ‘190’ 12 ’76’ 114 ‘(сзади)

4/19 5 ’95’ 6 ’38’ 57 ‘(2 * сзади)

5/19 4 ’76’ 6 ’19’ 38 ’57’ (2 * Ринд + 1/19)

В этих трех случаях автор Ахмина выбрал расширение с наименьшим количеством членов, а не расширение с наименьшим макс. знаменатель.Интересно, что «ожидаемая» серия от 19 февраля именно тот, который появляется в Папирусе Райнда, и, конечно же, в сериале для 4/19 это как раз дважды 2/19 (как в Ахмине, так и в ожидаемой серии), а ожидаемая серия для 19 мая составляет всего 19 января плюс 19 января.

Даже с учетом того, что критерием выбора Ахмина таблицы были такими, как описано выше, это все еще оставляет вопрос, какой алгоритм мог быть использован для вычисления результатов.Мне приходит в голову, что автор Папируса Ахмина могли использовать «мета-таблицу» для построения его столы. (Может быть, он держал мета-таблицу в секрете для обеспечения безопасности работы?) В основном есть только ограниченное количество комбинаций коэффициентов, поэтому мы могли создать мета-таблицу только один раз и использовать ее для построения всех индивидуальных н / п таблицы.

Мета-таблица фракций папируса Акмина

А Б а б в г А Б а б в г

— — — — — — — — — — — —

2 1 2 5 1 5

2 3 2 1 20 9 5 4

3 1 3 15 8 5 3

6 5 3 2 10 7 5 2

3 4 3 1 5 6 5 1

6 11 3 2 1 60 47 5 4 3

4 1 4 40 38 5 4 2

12 7 4 3 20 29 5 4 1

8 6 4 2 30 31 5 3 2

4 5 4 1 15 23 5 3 1

24 26 4 3 2 10 17 5 2 1

12 19 4 3 1 120 154 5 4 3 2

8 14 4 2 1 60 107 5 4 3 1

24 50 4 3 2 1 30 61 5 3 2 1

40 78 5 4 2 1

Чтобы найти лучшую единичную дробь n / p, все, что мы нужно взять первые A, B из этой таблицы, чтобы nA-B было кратным из п.Например, чтобы развернуть 17 декабря, мы пробуем первую запись, A = 2, B = 1, которая дает 12A-B = 23, не кратное 17. Итак, мы пробуем следующую запись, A = 2, B = 3. Это тоже не работает, поэтому мы идем к следующему. Первая действующая запись — 14-я: A = 24, B = 50. Следовательно, оптимальное расширение 12/17 дается формулой [a, b, c, d] = [4,3,2,1].

В этом случае решение было дано 14-й записью в мета-таблица.Если мы проверим все n / 17 расширений в папирусе Ахмина, мы обнаружите, что решения даны записями мета-таблицы, перечисленными ниже:

п -> 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

запись # -> 8 12 22 9 3 5 19 1 2 11 14 7 10 4 6

Используя этот метод, труднее всего найти расширение 4/17, потому что мы должны проверить до 22-й записи в мета-таблице (A = 20, B = 29), но не особо трудоемко.Немного потренировавшись, мы смогли наверное, делаем это в наших головах. (Обратите внимание, что мы можем взять A и B по модулю p, поэтому 22-я запись с p = 17 эквивалентна A = 3, B = 12 и, очевидно, 4 (3) — 12 = 0.) Фактически, чтобы покрыть все для расширений n / 19 им потребовалась бы мета-таблица, доходящая до 6. (Я только что показал это до 5 баллов.)

3.Почему единичные дроби?

Почему древние египтяне (и другие) упорствовали в использование египетских фракций на протяжении многих веков? Было ли это концептуальным ограничение, или просто вопрос обозначений? Некоторые ученые противопоставляют точность египетских расширений с приблизительным характером расширений с фиксированной базой например, в десятичной системе счисления и в вавилонской шестнадцатеричной системе. Этот контраст интересен, хотя для современных читателей это требует определенных усилий (привыкшие к представлениям с фиксированной базой) вообразить интеллектуальную трудности, связанные с этим сдвигом парадигмы.

Египетское предпочтение точных расширений напоминает мне о греческое предпочтение геометрии символической арифметике. Когда греки открыли иррациональные числа, они поняли, что рациональная арифметика может только приблизить значения большинства действительных чисел. В результате, не желая иметь дело с приближениями они посвятили себя в основном геометрии. Даже внутри геометрия, их настойчивость в возможности дать точных конструкций Использование линейки и компаса похоже на египетское требование давая точное разложение с использованием дробей.

Еще интересно сравнить фиксацию на агрегате фракции с настойчивостью древних астрономов в разрешении движений небесных объектов в идеальные круги — практика, которая, как и использование единичные дроби, также сохранились до 1500-х гг. В обоих случаях кажется стали самооправдавшей целью. Разлагаем числа в единицу дроби, и мы разбиваем движения на круги, потому что они (соответственно) единственные совершенные формы, хотя в основе этих концепции совершенства не были тщательно изучены, и хотя нет заметной пользы от искривлений, необходимых для устранения вещи в эти (предполагаемые) предшествующие формы .

Есть по крайней мере два отдельных аспекта египетского дробные расширения, что ставит их в тупик для современных людей. Один из них переменная «основание», например, вместо преобразования дроби в сумму дробей со знаменателями, равными степеням одного основного числа (например, 10 или 60), они свободно выбирали знаменатели, чтобы дать точное определение. Таким образом, хотя вавилоняне могли выразить 1/7 как (приблизительно)

египтяне предпочли бы точное расширение

Это также подчеркивает другой загадочный аспект египетского дроби, а именно их предпочтение числителям единиц.Это могло быть происходит от их «двоичного» подхода к целочисленной арифметике, в какие последовательные удвоения операндов использовались для умножения чисел, поэтому что фактически их количество выражалось в форме

, где коэффициенты c i равны 0 или 1. Когда они расширили свою арифметику, включив дроби, они могли бы стремился выразить все числа в виде

, где снова коэффициенты n i равны 0 или 1, но понимая, что использование D j = 2 -j не позволит точные разложения, они использовали независимо переменные знаменатели.

Тем не менее, неясно, какой цели служили Дроби египетской единицы. Предположительно одна из основных причин расширение рациональных дробей позволяет сравнивать различные количества. Например, если кто-то предлагает нам 1/7 бушеля кукурузы и кто-то другой предлагает нам 13/89 бушеля, что мы должны взять? В Вавилонский подход заключался в выражении двух чисел в шестнадцатеричной системе счисления как .

Это позволяет легко увидеть, что хотя первые термины идентично, второй член 13/89 больше, чем второй член 1/7.В на самом деле ясно, что дробь 13/89 превышает 1/7 примерно на 6/60 2 + 33/60 3 . Это показывает ценность выражения дробей в система с фиксированной базой: позволяет сразу оценить относительную величины разных величин (и разницу между ними) на размещая их на общей основе.

Однако египетский подход, похоже, не служит этому цель.Одно из возможных египетских расширений 1/7 — 1/14 + 1/21 + 1/42, но как бы они расширились 13/89? Используя «бинарный» подход, они могли бы сначала рассмотрели расширение числителя в степени 2 следующим образом:

Тогда из таблицы 2 / n расширений они найдут

, что сразу дает

Член 1/89 в расширении 8/89 может быть объединен с 1/89 в исходном расширении, чтобы получить 2/89, для которых мы могли замените приведенное выше табличное выражение 2 / n.Условия 2/267 и 2/445 могут быть записывается как (1/3) (2/89) и (1/5) (2/89) соответственно, поэтому мы снова можем замените из выражения таблицы 2 / n. Если сложить эти термины, получится

дает

Это дает полное расширение доли единицы для 13/89, но не очевидно, как это облегчает сравнение с 1/14 + 1/21 + 1/42.В какой-то момент им нужно будет разместить два числа на общем знаменатель.

Конечно, мы не знаем, как древние египтяне расширилась бы 13/89, поскольку уцелевшие таблицы не включают никаких общих правил. Возможно, у них был способ расширить первые несколько термины по указанным знаменателям для целей сравнения, но нет Свидетельство тому. Основываясь на приведенных ими примерах, мы ожидаем, что они разложите 13/89 на что-то вроде

или, возможно, чтобы минимизировать наибольший знаменатель, могущество использовали

, но это все еще не дает легкой основы для сравнения с некоторыми другая дробь, например 1/7 = 1/14 + 1/21 + 1/42.Самый целесообразный способ сравнение величин было бы просто перекрестным умножением, чтобы очистить дробей, обнаружив, что (13) (7) = 91 превышает (1) (89) = 89, но опять же нет свидетельств того, что древние египтяне смотрели на это именно так.

Хотя, несомненно, есть несколько интересных алгебраических закономерностей в исторических египетских расширениях, цель которых расширения (то есть функция, которую они обслуживали) остается неясным.Были ли они просто упражнения в манипуляции, или они послужили какой-то полезной цели? Каким образом Египтяне сравнивают размеры двух общих дробей? Как они добавили, вычесть, умножить и разделить общие дроби? Они использовали 2 / n стол ни для чего? Некоторые ученые предположили, что разделение поместья могло быть одним из мотивов, и легко видеть, что это могло вызвали у египтян особый интерес к единичным дробям, но это не ясно, какую выгоду они получили от выражения единичных дробей суммой других единицы дроби.

Интересно рассмотреть другие возможности, например играть в азартные игры. Современная теория вероятностей зародилась в серии писем. между Ферма и Паскалем по вопросу разделения ставок незаконченная азартная игра. Я не знаток древних культур, но я бы Готов поспорить, что древние египтяне практиковали некоторые формы азартных игр. Может быть, некоторые забытые предшественники Ферма и Паскаля беспокоились о то же самое, и разработал набор математических методов для решения с такими перегородками.Тем не менее, я не совсем понимаю, как использовать Дроби египетских единиц для любой из этих целей.

Одна из возможных причин практики выражения чисел как так долго выдерживаемая дробь — это ограничения системы обозначений. Дарра Чави указывает, что древние египтяне писали число 1 / n как число п с овалом над ним. Это просто символ с одной переменной и не легко приспособить две переменные, необходимые для выражения отношения произвольного числитель и знаменатель.Необходимо разработать совершенно новые обозначения. Более того, требуются не только новые обозначения, но и им представить единую величину с двумя переменными и независимыми аргументы. Они могли сложить единичные дроби, но не могли концептуально объединить их в единое целое.

В поисках ключей к объяснению мотивов использования дробей мы могли бы исследовать сам Папирус Райнда.Напомним, что Ахмес ставит задачу разделить 3 буханки хлеба поровну между 5 людьми. Естественно, каждый человек получает 3/5 буханки, но есть несколько различных способы разделения хлеба для этого. Один из способов — разрезать каждую буханку разделить на пять равных частей и дать каждому по три части. Это бы требуется 12 разрезов. Другой способ — сделать по одному надрезу в каждой буханке, разделив его на 3/5 и 2/5 частей и дайте каждому из трех человек по одной из 3/5 части. Остается три части размером 2/5.Один из них можно разрезать пополам, а каждому из оставшихся двух человек можно было дать 2/5 и 1/5 кусочка. Для этого потребуется всего 4 разреза.

В книге «Древние загадки» Доминик Аливастро. предполагает, что Ахмес, возможно, хотел решить эту проблему, сократив один буханку на пять равных ломтиков, а остальные две буханки на три равных ломтики. Затем возьмите один из 1/3 ломтиков хлеба и разрежьте его на пять равных частей. ломтики.Тогда каждому человеку может быть предоставлена ​​его доля в форме .

Alivastro предполагает, что это может быть проще воспринимается как ровная, чем перегородка 3/5, 3/5, 3/5, (1/5 + 2/5), (1/5 + 2/5), хотя следует сказать, что равномерное разбиение на конгруэнтные акции (1/5 + 1/5 + 1/5), вероятно, будут еще более уравновешенными.Обе эти перегородки требуют 12 разрезов, поэтому мы не можем предпочесть одну. прочее, основанное на экономии сокращений.

В целом наиболее правдоподобное объяснение древнего фиксация на единичных дробях, кажется, состоит в том, что они с трудом понимают одна величина в виде двух переменных (числитель и знаменатель), и искали простые «целые» дробные количества. Так же, как «целые» натуральные числа имеют вид n / 1, это было естественно представить себе, что «целые» дробные числа имеют вид 1 / n.

Приложение I: Почему лечились 35, 91 и 95 лет Иначе?

Интересно рассмотреть следующую таблицу:

Двутреугольные и родственные числа

k T = (k + 2) (k + 3) Q = 6k + 1 T-Q TQ

— ————— ———- —— ——

1 12 * 7 5 35

2 20 * 13 7 91

3 30 * 19 11 209

4 42 * [25] 17

5 56 * 31 [25]

6 72 37 (35)

7 90 43 47

8 110 [49] 61

9 132 (55) (77)

10 156 61 (95)

11 182 67

12 210 73

13 240 (85)

14 272 (91)

15 306 97

16 342 103

18 420 109

Обратите внимание, что значения TQ меньше 100 точно соответствуют те, которые обрабатываются арифметико-гармоническим разложением в таблице 2 / n.Кроме того, я заключил в круглые скобки составные значения в столбцах Q и T-Q, а квадратные скобки — указывают квадраты. Обратите внимание, что появляются числа 35, 91 и 95, а также соответствующие значения 2a-p, а именно квадраты 25, 49 и 25 соответственно. Также появляется число 55, которое было немного обработано. необычным образом в таблице 2 / n, будучи просеянным по большему из двух делители, а не меньшие. Единственные другие композиты в этих столбцах 77 и 85, которые, кажется, не рассматривались каким-либо необычным образом в 2 / п стол.Кстати, числа в столбце Т, которые двутреугольные числа, кажется, были любимым выбором для «а». Каждое значение, отмеченное звездочкой, использовалось в таблице 2 / n как значение «а» хотя бы один раз.

Вернуться в главное меню MathPages

Испанские дроби — лексика испанского беззакония

Las fracciones

Как в испанском, так и в английском языке дроби и порядковые числа часто пересекаются: подавляющее большинство этих двух типов чисел используют одно и то же слово.В английском они идентичны, начиная с третьего, а в испанском — начиная с cuarto .

Испанские дроби

половина	1/2		una mitad
третий	1/3		un tercio
четвертый	1/4		un cuarto
пятая	1/5		un quinto
шестой	1/6		un sexto
седьмой	1/7		un séptimo
восьмой	1/8		и октаво
девятый	1/9		un noveno
десятый	1/10		un décimo

Создание дробей

Большинство испанских дробей до décimo аналогичны своим соответствующим количественным числам, но, как вы можете видеть в приведенном выше списке, не существует единого метода их создания.

Начиная с один раз из , это меняется: вы можете создавать дроби, добавляя — вместо к кардинальному числу:

			кардинал	добавить -avo
одиннадцатый	1/11		один раз	un Onceavo
двенадцатая	1/12		доче	un doceavo
двадцатая	1/20		вене	un veinteavo
тридцатое	1/30		treinte	un treinteavo

Это работает с точностью до одной сотой (1/100), которая составляет un centésimo , но не включая ее.

В испанском языке есть два слова для «половины»:

1) la mitad (de) (имя существительное)

la mitad de los estudiantes		половина студентов
Compré una pizza anoche y comí la mitad.		Вчера вечером я купил пиццу и съел половину (ее).

2) medio (прилагательное)

Medio имеет форму женского рода, media , но не имеет формы множественного числа: ее можно использовать только с существительными в единственном числе.

Quiero un medio bocadillo.		Я хочу половину бутерброда.
Hay media manzana en la mesa.		На столе половина яблока.

За исключением la mitad и medio / media , все испанские дроби являются мужскими и должны начинаться с числа. Если больше единицы, дробь указывается во множественном числе:

.

2/3		дос терсиос
3/4		tres cuartos

Когда дроби используются с существительным женского рода parte , они действуют как прилагательные и, таким образом, изменяются в соответствии с ним:

una tercia parte		третий
una octava parte		восьмой
tres décimas partes		три десятых

Когда за любой дробью, кроме medio , следует существительное, необходим предлог de в качестве посредника.

No related posts.