Дроби
Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.
Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.
Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.
А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.
Что такое дробь?Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.
Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.
Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.
Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:
Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:
А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:
Такие записи называют
Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.
Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.
В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.
Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?
Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):
Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».
Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.
Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?
Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля»
Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:
Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:
Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?
Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».
Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.
Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.
На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.
Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.
С помощью переменных дробь можно записать так:
где a — это числитель, b — знаменатель.
Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:
Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.
С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:
Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.
Теперь возьмём к примеру неправильную дробь и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.
Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:
Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.
Допустим, мы хотим съестьпиццы. В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.
Дробь означает деление
Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.
Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:
Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:
Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».
Выделение целой части дроби
Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5
Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.
Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?
Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:
Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.
Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:
Схематически это выглядит так:
Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.
В нашем примере мы выделили целую часть дроби и получили новую дробь . Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.
В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это
Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.
Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:
Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:
После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.
В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.
Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.
Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби
Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:
Получили:
Перевод смешанного числа в неправильную дробь
Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается
Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.
Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:
2 × 3 = 6
Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:
6 + 1 = 7
Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:
Подробное решение выглядит так:
А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:
Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.
Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:
Основное свойство дроби
Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.
Например, рассмотрим дробь . Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.
Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!
Сокращение дробей
Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .
Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.
Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.
Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.
Пример 1. Сократить дробь
Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.
В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби надо разделить на 2
В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.
На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.
Пример 2. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.
НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20
Пример 3. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.
НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4
Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:
Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.
Второй способ сокращения дроби
Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.
К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4
Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:
Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.
Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:
Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:
Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36
Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.
Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.
Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:
Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.
Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:
Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:
Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.
Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.
Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .
Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.
Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:
Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:
Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:
Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:
Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:
Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части
Задание 10. Сократите следующую дробь на 3
Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом
Задание 12. Сократите следующую дробь на 5
Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом
Задание 14. Сократите следующие дроби:
Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:
Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Что такое дробь | Математика
Выясним, что такое дробь, из чего она состоит, и какой смысл имеют составные части дроби.
Определение.
Дробь — это число, составленное из целого числа долей единицы.
То есть, когда надо найти дробь от определенной величины, эту величину принимают равной единице.
Например, есть торт.
Считаем его равным единице.
Разрежем этот торт на 8 частей (долей).
Каждый кусочек составляет одну восьмую часть торта.
Для обозначения дроби существует специальная запись:
(читают: «одна восьмая»).
Горизонтальная линия между верхним и нижним числами называется дробной чертой (или чертой дроби).
Число, стоящее вверху над дробной чертой — числитель дроби.
Число под дробной чертой — знаменатель дроби.
(Запомнить, где стоит числитель, где — знаменатель, поможет ассоциация).
Знаменатель показывает, на сколько частей (долей) разделили целое (которое мы приняли равным единице), а числитель — сколько таких частей взяли.
Спустя некоторое время мы будем учить, что дробная черта означает знак деления
В примере с тортом запись
означает, что торт разделили на 8 частей и из них взяли 3 части.
Разделим прямоугольник на 18 равных частей.
Каждая часть в этом случае составляет
прямоугольника.
Возьмём 5 таких частей.
Они составляют от прямоугольника
Примеры дробей.
1) Если в году 365 дней (то есть год — не високосный), то месяц июль (в котором 31 день) составляет
часть года. (Читают: «тридцать одну триста шестьдесят пятую»)
2) В книге 237 страниц. Если прочитали 52 страницы, значит, прочитана
часть книги.
(Читают: «пятьдесят две двести тридцать седьмых»).
Дроби можно отмечать на координатном луче.
1.2.1. Обыкновенные дроби
Глава 1. Арифметика
1.2.
1.2.1.
Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби.
Если n = 1, то дробь имеет вид и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.
Например, так как Из этого определения следует, что дробь равна любой дроби вида где m – натуральное число. В самом деле, так как то Итак, мы готовы сформулировать следующее правило.
| Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной. |
С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например, (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например, – несократимая дробь.
|
Модель 1.5. Сокращение обыкновенных дробей |
Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби. |
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.
|
Модель 1.6. Сравнение обыкновенных дробей |
Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит,
Следовательно,
Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби и
можно привести к знаменателю 56. В самом деле:
Привести дроби к наименьшему общему знаменателю: и
В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно.
Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями.
Сложение. Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть
Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то
|
Модель 1.7. Сложение и вычитание обыкновенных дробей |
Умножение. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению их знаменателей, то есть
Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом:
В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к неправильным дробям.
|
Модель 1.8. Умножение и деление обыкновенных дробей |
Сложить две дроби и Ответ представить в виде неправильной дроби.
|
Имеем: Ответ. |
Пример 3
Сложить две дроби и Ответ представить в виде неправильной дроби.
|
Имеем: Ответ. |
Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь такова, что число m кратно n, например, ).
Пример 4Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: 1) 2)
Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Понятно также, что верно и обратное: всякое смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби. Например,
Пример 5Выполнить действия.
Обыкновенные дроби. Конспект — Kid-mama
Из этой статьи вы узнаете:
- Что такое обыкновенные дроби.
- Виды обыкновенных дробей
- Преобразования дробей
- Сравнение дробей
- Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.
- Как приводить дроби к одному знаменателю. НОК
- Сложение и вычитание дробей.
- Умножение и деление дробей. Взаимно обратные числа и дроби.
1 Что такое обыкновенные дроби. Виды дробей.
Дробь всегда означает какую то часть целого. Дело в том, что не всегда количество можно передать натуральными числами, то есть пересчитать: 1,2,3 и т.д. Как, например, обозначить половину арбуза или четверть часа? Вот для этого и появились дробные числа, или дроби.
Для начала нужно сказать, что вообще дробей бывает два вида: обыкновенные дроби и десятичные дроби. Обыкновенные дроби записываются так:
Десятичные дроби записываются по другому:
Обыкновенные дроби состоят из двух частей: вверху — числитель, внизу — знаменатель. Числитель и знаменатель разделяет дробная черта. Итак, запомните:
Любая дробь — это часть целого. За целое обычно принимают 1 (единицу). Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разделили целое (1), а числитель — сколько частей взяли. Если мы разрезали торт на 6 одинаковых частей ( в математике говорят долей ), то каждая часть торта будет равна 1/6. Если Вася съел 4 куска, то значит, он съел 4/6 .
С другой стороны, дробная черта — это не что иное, как знак деления. Поэтому дробь — это частное двух чисел — числителя и знаменателя. В тексте задач или в рецептах блюд дроби записываются обычно так: 2/3, 1/2 и т.д. Некоторые дроби получили собственное название, например, 1/2 — «половина», 1/3 — «треть», 1/4 — «четверть»
А теперь разберемся, какие бывают виды обыкновенных дробей.
2 Виды обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби бывают трех видов: правильные, неправильные и смешанные:
Правильная дробь
Если числитель меньше, чем знаменатель, то такую дробь называют правильной, например: Правильная дробь всегда меньше 1.
Неправильная дробь
Если числитель больше, чем знаменатель или равен знаменателю, такая дробь называется неправильной, например:
Неправильная дробь больше единицы(если числитель больше знаменателя) или равна единице (если числитель равен знаменателю)
Смешанная дробь
Если дробь состоит из целого числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), то такая дробь называется смешанной, например:
Смешанная дробь всегда больше единицы.
3 Преобразования дробей
В математике обыкновенные дроби часто приходится преобразовывать, то есть смешанную дробь превращать в неправильную и наоборот. Это необходимо для выполнения некоторых действий, например, умножения и деления.
Итак, любую смешанную дробь можно перевести в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель дробной части. Полученную сумму берут числителем, а знаменатель оставляют тот же, например:
Любую неправильную дробь можно превратить в смешанную. Для этого делят числитель на знаменатель (с остатком).Полученное число будет целой частью, а остаток — числителем дробной части, например:
При этом говорят: «Мы выделили целую часть из неправильной дроби».
Необходимо запомнить еще одно правило: Любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1, например:
Поговорим о том, как сравнивать дроби.
4 Сравнение дробей
При сравнении дробей может быть несколько вариантов: Легко сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, гораздо сложнее — если знаменатели разные. А есть еще и сравнение смешанных дробей. Но не волнуйтесь, сейчас мы подробно рассмотрим каждый вариант и научимся сравнивать дроби.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями больше та дробь, у которой числитель больше, например:
Из двух дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, например:
Неправильная или смешанная дробь всегда больше правильной дроби, например:
При сравнении двух смешанных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше, например:
Если целые части у смешанных дробей одинаковые, больше та дробь, у которой дробная часть больше, например:
Сравнивать дроби с разными числителями и знаменателями без их преобразования нельзя. Сначала дроби нужно привести к одному знаменателю, а затем сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель будет больше. А вот как приводить дроби к одинаковому знаменателю, мы рассмотрим в следующих двух разделах статьи статьи. Сначала мы рассмотрим основное свойство дроби и сокращение дробей, а затем непосредственно приведение дробей к одному знаменателю.
5 Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.
Запомните: складывать и вычитать, а также сравнивать можно только дроби, у которых одинаковые знаменатели. Если знаменатели разные, то сначала нужно привести дроби к одному знаменателю, то есть так преобразовать одну из дробей, чтобы ее знаменатель стал таким же, как у второй дроби.
У дробей есть одно важное свойство, называемое также основным свойством дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то величина дроби при этом не изменится:
Благодаря этому свойству мы можем сокращать дроби:
Сократить дробь — значит разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число(смотрите пример чуть выше). Когда мы сокращаем дробь, то можно расписать наши действия так:
Чаще же в тетради сокращают дробь так:
Но запомните: сокращать можно только множители. Если в числителе или знаменателе сумма или разность, сокращать слагаемые нельзя. Пример:
Нужно сначала преобразовать сумму в множитель:
Иногда, при работе с большими числами, для того, чтобы сократить дробь, удобно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя (НОД)
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — это наибольшее натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка.
Для того, чтобы найти НОД двух чисел (например, числителя и знаменателя дроби), нужно разложить оба числа на простые множители, отметить одинаковые множители в обоих разложениях, и перемножить эти множители. Полученное произведение и будет НОД. Например, нам нужно сократить дробь:
Найдем НОД чисел 96 и 36:
НОД нам показывает, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель12, и мы легко сокращаем дробь.
Иногда, чтобы привести дроби к одному знаменателю, достаточно сократить одну из дробей. Но чаще бывает необходимо подбирать дополнительные множители для обеих дробей .Сейчас мы рассмотрим, как это делается. Итак:
6 Как приводить дроби к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК).
Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, мы подбираем для знаменателя такое число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель (то есть было бы кратным обоим знаменателям, выражаясь математическим языком). И желательно, чтобы число это было как можно меньшим, так удобнее считать. Таким образом, мы должны найти НОК обоих знаменателей.
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:
Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:
- Разложить эти числа на простые множители
- Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
- Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
- Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.
Например, найдем НОК чисел 28 и 21:
Однако вернемся к нашим дробям. После того, как мы подобрали или письменно вычислили НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:
Таким образом мы привели наши дроби к одному знаменателю — 15.
7 Сложение и вычитание дробей
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:
Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью:
Пример 1:
Пример 2:
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:
Вычитание проводится аналогично: целая часть вычитается из целой, а дробная — из дробной части:
Если дробная часть вычитаемого больше, чем дробная часть уменьшаемого, «занимаем» единицу из целой части, превращая уменьшаемое в неправильную дробь, а дальше действуем как обычно:
Аналогично вычитаем из целого числа дробь:
Как сложить целое число и дробь
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:
Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:
Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как при сложении дробей с одинаковыми знаменателями (сложить числители):
При вычитании действуем аналогично:
Если работаем со смешанными дробями, приводим к одинаковому знаменателю их дробные части и далее вычитаем как обычно: целую часть из целой, а дробную — из дробной части:
8 Умножение и деление дробей.
Умножать и делить обыкновенные дроби гораздо проще, чем складывать и вычитать, так как не нужно приводить их к одному знаменателю. Запомните простые правила умножения и деления дробей:
Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений
Например:
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель:
Например:
При умножении смешанных дробей нужно сначала записать эти дроби в виде неправильных дробей, а затем умножать как обычно: числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель:
Перед тем, как перемножать числа в числителе и знаменателе желательно сократить дробь, то есть избавиться от одинаковых множителей в числителе и знаменателе, как в нашем примере.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений:
Например:
Деление дроби на дробь
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю (обратную дробь).Что же это за обратная дробь?
Взаимно обратные числа и дроби.
Если мы перевернем дробь, то есть поменяем местами числитель и знаменатель, то получим обратную дробь. Произведение дроби и обратной ей дроби дает единицу. В математике такие числа называют взаимно обратными числами:
Например, числа — взаимно обратные, так как
Таким образом, вернемся к делению дроби на дробь:
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:
Например:
При делении смешанных дробей нужно так же, как и при умножении, сначала перевести их в неправильные дроби:
При умножении и делении дробей на целые натуральные числа, можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1.
И при делении целого числа на дробь представляем это число в виде дроби со знаменателем 1:
определения, обозначения, примеры, действия с дробями, числитель и знаменатель
Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.
Доли целого
Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.
Определение 1Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.
Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.
Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.
Определение 2Половина – одна вторая доля предмета.
Треть – одна третья доля предмета.
Четверть – одна четвертая доля предмета.
Чтобы сократить запись, ввели следующие обозначения долей: половина — 12 или 1/2; треть — 13 или 1/3; одна четвертая доля — 14 или 1/4 и так далее. Записи с горизонтальной чертой используются чаще.
Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры
Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.
Представим апельсин, состоящий из 12 долек. Каждая доля тогда будет – одна двенадцатая или 1/12. Две доли – 2/12; три доли – 3/12 и т.д. Все 12 долей или целое число будет выглядеть так: 12/12. Каждая из используемых в примере записей является примером обыкновенной дроби.
Определение 3Обыкновенная дробь – это запись вида mn или m/n, где m и n являются любыми натуральными числами.
Согласно данному определению, примерами обыкновенных дробей могут быть записи: 4/9, 1134, 91754. А такие записи: 115, 1,94,3 не являются обыкновенными дробями.
Числитель и знаменатель
Определение 4Числителем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число m.
Знаменателем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число n.
Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).
Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 754 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В таком случае возможно говорить, что рассматриваемый предмет (величина) неделим, являет собой нечто целое. Числитель в подобной дроби укажет, какое количество таких предметов взято, т.е. обыкновенная дробь вида m1 имеет смысл натурального числа m. Это утверждение служит обоснованием равенства m1 = m.
Запишем последнее равенство так: m = m1. Оно даст нам возможность любое натуральное число использовать в виде обыкновенной дроби. К примеру, число 74 – это обыкновенная дробь вида 741.
Определение 5Любое натуральное число m возможно записать в виде обыкновенной дроби, где знаменатель – единица: m1.
В свою очередь, любая обыкновенная дробь вида m1 может быть представлена натуральным числом m.
Черта дроби как знак деления
Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.
В случае, когда мы изначально имеем m одинаковых предметов (каждый разделен на n частей), то и эти m предметов возможно поровну разделить между n людьми, дав каждому из них по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1n, а m долей 1n даст обыкновенную дробь mn. Следовательно, обыкновенную дробь mn можно использовать, чтобы обозначать деление m предметов между n людьми.
Полученное утверждение устанавливает связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить следующим образом: черту дроби возможно иметь в виду в качестве знака деления, т.е. m/n = m : n.
При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 710: каждому человеку достанется семь десятых долей.
Равные и неравные обыкновенные дроби
Логичным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, к примеру, 18 яблока отлична от 78.
Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.
Определение 6Равные обыкновенные дроби – обыкновенные дроби ab и cd, для которых справедливо равенство: a · d = b · c.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби ab и cd, для которых равенство: a · d = b · c не является верным.
Пример равных дробей: 13 и 412 – поскольку выполняется равенство 1 ·12 = 3 · 4.
В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.
Дробные числа
Каждая дробь – это запись дробного числа, что по сути — просто «оболочка», визуализация смысловой нагрузки. Но все же для удобства мы объединяем понятия дроби и дробного числа, говоря просто – дробь.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать заданиеДроби на координатном луче
Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.
Чтобы на координатном луче найти точку, обозначающую дробь mn, необходимо от начала координат отложить в положительном направлении m отрезков, длина каждого из которых составит 1n долю единичного отрезка. Отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n одинаковых частей.
Как пример, обозначим на координатном луче точку М, которая соответствует дроби 1410. Длина отрезка, концами которого является точка О и ближайшая точка, отмеченная маленьким штрихом, равна 110 доле единичного отрезка. Точка, соответствующая дроби 1410, расположена в удалении от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.
Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей 13, 26, 39, 515, 1133 соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.
Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.
Определение 7Правильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель меньше, чем знаменатель. Т.е., если выполняется неравенство m < n, то обыкновенная дробь mn является правильной.
Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. Т.е., если выполняется неравенство undefined, то обыкновенная дробь mn является неправильной.
Приведем примеры: — правильные дроби:
Пример 1— неправильные дроби:
Пример 213/13, 573, 901112, 167.
Также возможно дать определение правильных и неправильных дробей, опираясь на сравнение дроби с единицей.
Определение 8Правильная дробь – обыкновенная дробь, которая меньше единицы.
Неправильная дробь – обыкновенная дробь, равная или бОльшая единицы.
Например, дробь 812 – правильная, т.к. 8 12< 1. Дроби 532 и 1414 являются неправильными, т.к. 532 > 1, а 1414 = 1.
Немного углубимся в размышление, почему дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю получили название «неправильных».
Рассмотрим неправильную дробь 88: она сообщает нам, что взято 8 долей предмета, состоящего из 8 долей. Таким образом, из имеющихся восьми долей мы можем составить целый предмет, т.е. заданная дробь 88 по сути представляет целый предмет: 88=1. Дроби, в которых числитель и знаменатель равны, полноценно заменяет натуральное число 1.
Рассмотрим также дроби, в которых числитель превосходит знаменатель: 115 и 363. Понятно, что дробь 115 сообщает о том, что из нее мы можем составить два целых предмета и еще останется одна пятая доля. Т.е. дробь 115 – это 2 предмета и еще 15 от него. В свою очередь, 363 – дробь, означающая по сути 12 целых предметов.
Указанные примеры дают возможность сделать вывод, что неправильные дроби возможно заменить натуральными числами (если числитель без остатка делится на знаменатель: 88 = 1; 363 = 12) или суммой натурального числа и правильной дроби (если числитель не делится на знаменатель без остатка: 115 = 2 + 15). Вероятно, потому такие дроби и получили название «неправильных».
Здесь также мы сталкиваемся с одним из важнейших навыков работы с числами.
Определение 9Выделение целой части из неправильной дроби – это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Также отметим, что существует тесная взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами.
Положительные и отрицательные дроби
Выше мы говорили о том, что каждой обыкновенной дроби соответствует положительное дробное число. Т.е. обыкновенные дроби – это положительные дроби. Например, дроби 517, 698, 6479 – положительные, и, когда необходимо особо подчеркнуть «положительность» дроби, она записывается с использованием знака плюс: +517, +698, +6479.
Если же обыкновенной дроби присвоить знак минус, то полученная запись будет являться записью отрицательного дробного числа, и мы говорим в таком случае об отрицательных дробях. Например, -817, -7814 и т.д.
Положительная и отрицательная дробиmn и -mn – противоположные числа. Например, дроби 78 и -78 являются противоположными.
Положительные дроби, как и любые положительные числа в целом, означают прибавление, изменение в сторону увеличения. В свою очередь, отрицательные дроби соответствуют расходу, изменению в сторону уменьшения.
Если мы рассмотрим координатную прямую, то увидим, что отрицательные дроби расположены левее точки начала отсчета. Точки, которым соответствуют дроби, являющиеся противоположными (mn и -mn), располагаются на одинаковом расстоянии от начала отсчета координат О, но по разные стороны от нее.
Здесь также отдельно скажем о дробях, записанных в виде 0n. Такая дробь равна нулю, т.е. 0n= 0.
Суммируя все вышесказанное, мы подошли к важнейшему понятию рациональных чисел.
Определение 10Рациональные числа – это множество положительных дробей, отрицательных дробей и дробей вида 0n.
Действия с дробями
Перечислим основные действия с дробями. В общем и целом, суть их та же, что имеют соответствующие действия с натуральными числами
- Сравнение дробей – данное действие мы рассмотрели выше.
- Сложение дробей – результатом сложения обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае сокращаемая до натурального числа).
- Вычитание дробей – действие, обратно сложению, когда по одной известной дроби и заданной сумме дробей определяется неизвестная дробь.
- Умножение дробей – это действие можно описать как нахождение дроби от дроби. Результат умножения двух обыкновенных дробей – обыкновенная дробь (в частном случае равная натуральному числу).
- Деление дробей – действие, обратное умножению, когда мы определяем дробь, на которую необходимо умножить заданную, чтобы получить известное произведение двух дробей.
Урок 71. понятие смешанной дроби — Математика — 5 класс
Математика
5 класс
Урок № 71
Понятие смешанной дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
– введение понятий «смешанная дробь», «целая часть смешанной дроби», «дробная часть смешанной дроби»;
– правило преобразования неправильных дробей в смешанные дроби;
– правило преобразования смешанных дробей в неправильные дроби;
– отработка правил преобразования неправильных и смешанных дробей;
– сравнение смешанных дробей.
Тезаурус
Правильная дробь – дробь, числитель которой меньше знаменателя.
Неправильная дробь – дробь, числитель которой больше знаменателя.
Смешанная дробь – сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака плюс;
Целая часть смешанной дроби – натуральное число в смешанной дроби.
Дробная часть смешанной дроби – правильная дробь в смешанной дроби.
Обязательная литература
- Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вы уже знакомы с обыкновенными дробями. Умеете выполнять с ними все арифметические действия. Знаете, что обыкновенные дроби бывают правильными – это те дроби, числитель которых меньше знаменателя, и неправильными – дроби, у которых числитель больше знаменателя.
Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка, то такая неправильная дробь равна частному от деления числителя на знаменатель.
Сумму натурального числа три и правильной дроби две пятых, записанную сокращённо, без знака плюс, называют смешанной дробью.
Натуральное число «три» в смешанной дроби «три целых две пятых» называют целой частью, а правильную дробь «две пятых» – дробной частью смешанной дроби.
Чтобы правильно назвать дробную часть смешанной дроби поступаем так: называя числитель, отвечаем на вопрос: «сколько долей взято?» – две. Называя знаменатель, отвечаем на вопрос: «две каких?» – пятых.
Научимся записывать неправильные дроби, числитель которых не делится на знаменатель нацело, в виде смешанных дробей.
Каждую смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби.
Для этого надо:
• знаменатель дробной части умножить на целую часть,
• прибавить к этому числу числитель дробной части,
• полученное число записать в числитель искомой неправильной дроби,
• знаменатель оставить прежним.
Так как у этих дробей целые части одинаковые, то сравнивать мы будем дробные части. Но дробные части данных дробей имеют разные знаменатели. Чтобы сравнить дроби с разным знаменателем, нужно привести их сначала к общему знаменателю. Меньшей из них будет та дробь, числитель которой меньше.
А можно ли сравнить эти дроби, не приводя их к общему знаменателю? Можно. И даже не одним способом.
Тренировочные задания
Преобразуем каждую смешанную дробь в неправильную, пользуясь правилом:
– знаменатель умножить на целую часть,
– прибавить его к дробной части,
– полученное число записать в числитель,
– знаменатель останется прежним.
Для того чтобы выбрать равные дроби, нужно привести их к одинаковому виду: или все дроби сделать неправильными, или все дроби – смешанными.
Преобразуем первые четыре неправильные дроби в смешанные числа.
Сложение смешанных дробей. Дроби в виде смешанного числа.
Давайте сначала вспомним пройденные темы. Повторение – мать учения, кто не повторил, тот забыл.
- Дробь как термин будет обозначает тип деления, который рассматривается как часть целого и указывает на разделение целого на равные доли или части, где знаменатель показывает, на сколько частей мы разделили, а числитель – сколько взяли частей от этого целого.
- Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Вспомнили? Двигаемся дальше.
Смешанная дробь состоит из целого и дробного числа. Например, \(2\frac{2}{7}\) — смешанная дробь, в которой \(2\) – целое число, а \(\frac{2}{7}\)- дробь.
Как сложить две смешанные дроби?
Существуют два способа.
Первый способ.
- Переводим в неправильные дроби.
- Приводим к общему знаменателю, пользуясь основным свойством дробей.
- Складываем полученные дроби.
- Исходную новую дробь переводим в правильную:
Второй способ.
- Отдельно складываем дробную и целую части соответственно.
- Исходную новую дробь переводим в правильную:
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Наши преподаватели
Оставить заявкуРепетитор по математике
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Люблю математику, потому что она логична и красива, она приносит удовольствие и развивает ум, ее нельзя переписать, например, как историю. Хочу, чтобы дети не боялись ее и полюбили, как я. Когда у ребенка начинает получаться, он становится счастливее. Сделать счастливее ваших детей — это моя главная задача!
Оставить заявкуРепетитор по математике
Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов. Математика — отличный тренажер! Только тренирует он не мышцы, а наш ум! А я могу Вам помочь с тренировками, ведь изучать математику не всегда бывает легко. На занятиях будем развивать память и мышление, используя различные интересные задания и игры!
Оставить заявкуРепетитор по математике
Таганрогский педагогический институт им. А.П. Чехова
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 4-11 классов. Математика дисциплинирует и воспитывает ум, это основа для всех наук. Очень люблю работать с детьми! Уроки проходят в комфортной обстановке, к каждому ученику подхожу индивидуально, объясняю доступно и понятно. На занятиях применяю игровые приемы, схемы, графики и презентации, для того, чтобы учащимся было интересно.
Похожие статьи
Виды фракций | Важные примечания | Решенные примеры
Прежде чем разбираться с типами дробей, вспомним дроби. Дробь — это часть или часть любого количества из целого, где целое может быть любым числом, определенным значением или вещью. Во многих ситуациях в реальном времени каждая измеряемая величина не может быть абсолютным целым числом. Следовательно, нам, возможно, придется иметь дело с частями целого или частями целого. Здесь на помощь приходит концепция дробей. В этом уроке давайте узнаем о различных типах дробей, таких как правильные и неправильные дроби, смешанные дроби, эквивалентные дроби, подобные и непохожие дроби.
Что такое дроби?
Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя. Числитель — это число, помещенное вверху, а число, помещенное внизу, называется знаменателем. В числителе указано количество рассматриваемых частей, а в знаменателе — общее количество частей в целом.
Хотя существует много типов дробей, на основе числителя и знаменателя различаются три основных типа дробей:
- Правильные дроби
- Неправильные фракции
- Смешанные фракции
Правильные дроби
Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной дробью.Например, 3/12 и 2/5 — правильные дроби, потому что 3 <12 и 2 <5. Пример: Сэм получил плитку шоколада и разделил ее на 3 равные части. Он взял 1 часть и отдал 2 части своей сестре Саре. Вы представляете долю Сэма как 1/3, а долю Сары как 2/3. Обе эти дроби считаются правильными дробями.
Неправильные дроби
Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью. Например, 5/2 и 8/7 — неправильные дроби, потому что 5> 2 и 8> 7.
Смешанные фракции
Смешанная дробь — это смесь целого числа и правильной дроби. Например, \ (1 \ dfrac {3} {4} \) и \ (3 \ dfrac {4} {7} \) — это смешанные числа или смешанные дроби. В первом примере 1 — это целая часть числа, а 3/4 — правильная дробь. Во втором примере 3 — это целая часть числа, а 4/7 — правильная дробь.
Теперь давайте изучим типы дробей, которые классифицируются по группам. Когда группа фракций классифицируется, они определяют сравнение между двумя или более фракциями.Они делятся на следующие категории:
- Нравится дроби
- В отличие от дробей
- Эквивалентные фракции
Нравится Дроби
Если знаменатели двух или более дробей совпадают, то они называются дробями. Например, 1/6, 2/6, 3/6, 5/6 и т. Д. Мы можем выполнять сложение и вычитание дробей только для одинаковых дробей.
В отличие от дробей
Если знаменатели двух или более дробей различны, то дроби называются непохожими дробями.Например, 1/2, 1/3, 2/5, 3/6 и т. Д. Если дроби не совпадают, при сложении или вычитании дробей мы преобразуем их в одинаковые дроби.
Эквивалентные дроби
Эквивалентные дроби — это дроби, которые имеют разные числители и разные знаменатели, но при упрощении или уменьшении равны одному и тому же значению. Например, 2/4, 3/6, 4/8 равны 1/2. Итак, эти дроби являются эквивалентными дробями.
Несоответствующая фракция смешанной фракции
Чтобы преобразовать неправильные дроби в смешанные, нам нужно разделить числитель на знаменатель.Затем мы записываем его в форме смешанного числа, помещая частное как целое число, остаток как числитель и делитель как знаменатель. Давайте рассмотрим следующий пример, чтобы лучше понять это. Пусть неправильная дробь будет 12/5. Чтобы преобразовать его в смешанную дробь, мы выполняем следующие шаги:
- Разделить 12 на 5.
- При делении получаем частное как 2, а остаток как 2.
- Частное становится частью целого числа, а остаток 2 становится новым числителем, а знаменатель остается прежним.
- Таким образом, смешанная дробь представлена как \ (2 \ dfrac {2} {5} \)
Смешанная фракция к неправильной фракции
Смешанная фракция — это смесь целого числа и правильной дроби. Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь, нам нужно умножить знаменатель на целую часть числа, а затем прибавить числитель к произведению. Результат будет новым числителем, тогда как знаменатель останется прежним.Давайте рассмотрим следующий пример, чтобы лучше понять это. Пусть смешанная дробь равна \ (7 \ dfrac {3} {5} \). Чтобы преобразовать это в неправильную дробь, мы выполняем следующие шаги:
- Умножаем целое число 7 на знаменатель 5. Итак, получаем 7 × 5 = 35
- Сложите произведение с числителем: 35 + 3 = 38
- Выразите его в виде дроби со знаминателем 5, то есть 38/5
Важные моменты
Ниже приведены несколько важных моментов, связанных с различными типами дробей:
- Значение неправильной дроби всегда больше 1.
- Значение правильной дроби всегда меньше 1.
- Смешанная дробь — это комбинация целого числа и дроби.
- Смешанная дробь может быть преобразована в неправильную дробь и наоборот. Например, \ (2 \ dfrac {1} {2} \) = 5/2.
Типы дробей Связанные темы
Часто задаваемые вопросы о типах дробей
Сколько существует типов дробей?
Когда дроби классифицируются на основе числителя и знаменателя, они делятся на правильные дроби, неправильные дроби и смешанные дроби.Когда они классифицируются по группам, они классифицируются как одинаковые дроби, в отличие от дробей и эквивалентных дробей.
Какие три типа дробей?
Три типа дробей, основанные на числителе и знаменателе: правильные, неправильные и смешанные дроби. Например, 2/5, 3/4 называются правильными дробями, потому что здесь числитель меньше знаменателя; 5/2, 8/3 называются неправильными дробями, потому что числитель больше знаменателя; и \ (1 \ dfrac {2} {6} \) и \ (3 \ dfrac {1} {4} \) называются смешанными дробями, потому что они состоят из целого числа и правильной дроби.
Как вы решаете дроби?
Дроби могут быть решены в соответствии с категорией, к которой они принадлежат. Вот различные способы решения дробей.
- Чтобы складывать и вычитать подобные дроби, мы просто решаем числители, а знаменатели остаются прежними. Например, 1/3 + 4/3 = 5/3, 9/4 — 3/4 = 6/4
- Ведь, в отличие от дробей, они сначала преобразуются в одинаковые дроби, чтобы их сложить или вычесть. Например, чтобы сложить 1/3 + 1/2, нам нужно найти НОК знаменателей и преобразовать данные дроби в аналогичные дроби, которые им эквивалентны.Здесь они преобразуются и записываются как 2/6 + 3/6, а затем мы добавляем их, что дает (2 + 3) / 6 = 5/6
- Умножение двух данных дробей производится путем умножения числителей и затем умножения знаменателей. После этого, при необходимости, они сокращаются до минимального срока. Например, 1/3 × 1/2 = 1/6
- Разделение на дроби производится путем умножения первой дроби на обратную величину второй дроби. Например, 1/3 ÷ 1/2 = 1/3 × 2/1 = 2/3
Что такое правильные дроби?
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью.Пример: 5/12, 3/8.
Что такое две части дроби?
Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя.
- Числитель: числитель представляет собой число, стоящее в верхней части дроби. Он представляет собой часть, которая считается частью целого. Например, в 5/6 числитель — 5.
- Знаменатель: Знаменатель указывает часть, которая находится внизу дроби. Он представляет собой общее количество деталей.Например, в 5/6 знаменатель — 6.
Что такое смешанная фракция?
Дробь, представляющая собой комбинацию целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью. Например, \ (2 \ dfrac {1} {3} \) смешанная дробь, где 2 — целое, 1/2 — правильная дробь.
Как узнать, что дроби похожи?
Подобные дроби также известны как одинаковые дроби. Две или более дроби, имеющие один и тот же знаменатель, называются одинаковыми дробями.Другими словами, дроби с одинаковыми знаменателями называются подобными дробями. Например, 1/7, 2/7, 5/7, 6/7 — все как дроби с одним и тем же знаменателем, то есть 7.
правильных дробей | Неправильные дроби
Из неправильной дроби в смешанное число
- Разделите числитель на знаменатель.
Например: Преобразовать 5/4 в смешанное число
`1` `4` `5` `4` `1` - Используйте частное как целое число.
в нашем примере частное 1.
- Используйте остаток как числитель правильной дроби.
в нашем примере остаток равен 1.
- Знаменатель останется прежним.
в нашем примере знаменатель равен 4.
Следовательно, требуемое смешанное число — `1 1 / 4`
Смешанное число в неправильную фракцию
Умножьте целое число на знаменатель.Например: Преобразовать 2 1/4 в неправильную дробь
В нашем примере целое число — 2 , а знаменатель — 4
., следовательно, 2 x 4 = 8
Добавьте произведение в числитель правильной дроби. Сумма является числителем неправильной дроби.
Здесь числитель 1
сложив числитель и произведение получим, числитель
= 8 + 1 = 9
Знаменатель останется прежним.Знаменатель
= 4
Следовательно, неправильная дробь — `9/4`
Что такое дробь и сколько существует типов дробей
Что такое дробь и сколько типов дробей существуетДробь
Число, которое сравнивает часть объекта или набор с целым, особенно частное двух целых чисел, записывается в форме xly, называется дробью .Дробь 1/3, означающая деление 1 на 3, может быть представлена как 1 карандаш из коробки с 3 карандашами.
Дробь — это (i) часть целого. (ii) часть коллекции.
Дробь состоит из двух чисел, разделенных горизонтальной чертой. Число над горизонтальной линией называется числителем, а число под горизонтальной линией — знаменателем дроби.
Дробь как часть целого
Дробь — это часть целого.Представьте себе пиццу, нарезанную ломтиками. Из всех ломтиков получается 1 целая пицца. Каждый кусочек — это кусок пиццы.
Таня и Саня хотят разделить пиццу поровну.
Они решают разрезать пиццу с середины и разделить ее на две равные части. Каждая часть называется
половиной целого и записывается как \ (\ frac {1} {2} \). Обе сестры получают равные доли. Часть \ (\ frac {1} {2} \) целого является дробью.
Точно так же мы можем взять множество примеров из нашей повседневной жизни, чтобы показать дробь как часть целого.
На этом рисунке мы разделили треугольник на 3 равные части. Заштрихованная часть показывает одну часть из трех, то есть \ (\ frac {1} {3} \). Здесь \ (\ frac {1} {3} \) — дробь, которая является частью всего треугольника.
Подробнее:
Дробь является частью коллекции
Дробь представляет собой части коллекции, числитель — это количество частей, которые у нас есть, а знаменатель — общее количество частей в коллекции.
Давайте возьмем коллекцию из 12 звезд, и мы хотим заштриховать \ (\ frac {3} {4} \) коллекции.
Чтобы найти \ (\ frac {3} {4} \) из 12 звезд, мы разделим 12 звезд на четыре равные части.
Каждая часть содержит 3 звезды. Теперь мы можем заштриховать 3 части из 4 частей.
При подсчете находим, что общее количество закрашенных звезд составляет 9.
Другими словами, \ (\ frac {3} {4} \) из 12 звезд = 9 звезд.
Виды фракций
- Подобные дроби: Дроби, имеющие одинаковый знаменатель, называются подобными дробями.
Примеры: \ (\ frac {1} {7} \), \ (\ frac {3} {7} \), \ (\ frac {2} {7} \), \ (\ frac {6} { 7} \) и т. Д. Подобны дробям. - В отличие от дробей: Дроби, имеющие разные знаменатели, называются разнородными дробями.
Примеры: \ (\ frac {2} {3} \), \ (\ frac {5} {7} \), \ (\ frac {6} {8} \), \ (\ frac {1} { 3} \) и т. Д. Не похожи на дроби. - Дробь единицы: Дробь, у которой числитель равен 1, называется дробью единицы.
Примеры: \ (\ frac {1} {3} \), \ (\ frac {1} {9} \), \ (\ frac {1} {8} \), \ (\ frac {1} { 5} \) и т. Д.все единицы дроби - Правильная дробь: Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной дробью.
Примеры: \ (\ frac {2} {3} \), \ (\ frac {5} {7} \), \ (\ frac {1} {6} \), \ (\ frac {3} { 9} \) и т. Д. Все являются правильными дробями. - Неправильная дробь: Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью.
Примеры: \ (\ frac {4} {3} \), \ (\ frac {7} {5} \), \ (\ frac {9} {9} \) и т. Д. — все неправильные дроби. - Смешанная дробь: Дробь, представляющая собой комбинацию целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью. Все неправильные дроби можно записать в виде смешанных дробей.
Пример: 2 \ (\ frac {1} {4} \) — это смешанная дробь, так как 2 — это целое число 4, а \ (\ frac {1} {4} \) — правильная дробь. - Эквивалентная дробь: Если \ (\ frac {c} {d} = \ frac {m \ times a} {m \ times b} \), то дроби \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {c} {d} \) называются эквивалентными дробями, потому что они представляют одну и ту же часть целого.
Например, заштрихованные части каждой из следующих фигур одинаковы, но представлены разными дробными числами.
Их называют эквивалентными дробями.
Итак, мы пишем \ (\ frac {1} {2} = \ frac {2} {4} = \ frac {4} {8} \) и т. Д. - Десятичные дроби: Дробь, знаменателем которой является любое из чисел 10,100,1000 и т. Д., Называется десятичной дробью.
Например: \ (\ frac {8} {10}, \ frac {11} {100}, \ frac {17} {1000} \) и т. Д.являются десятичными дробями. - Простые дроби: Дробь, знаменателем которой является целое число, кроме 10,100,1000 и т. Д., Называется вульгарной дробью.
Например, \ (\ frac {2} {7}, \ frac {3} {8}, \ frac {11} {17} \) и т. Д. Являются вульгарными дробями.
Математика
дробей
А дробная часть это способ выражения разделения.
а б средства а ÷ б .
Это обозначение может использоваться для обозначения чисел, которые не являются целые числа .
Число под полосой называется знаменатель . Он сообщает количество равных частей, на которые было разделено целое.
Число над полосой называется числитель. Он сообщает, сколько равных частей рассматривается.
Пример 1:
2 5 средства 2 ÷ 5
Все было разделено на 5 части и 2 рассматриваются.
Фракция 2 5 может быть представлена фигурой, разделенной на 5 куски равного размера, с 2 из них заштрихованы.
А правильная дробь — дробь, числитель которой меньше знаменателя. Если числитель больше знаменателя, то это неделимая дробь .
Пример 2:
3 7 это правильная дробь .Его можно представить в виде фигуры, разделенной на 7 куски равного размера, с 3 из них заштрихованы.
14 5 является неправильная фракция на . Это больше, чем 1 , поэтому, чтобы нарисовать его, вам понадобится больше, чем 1 форма. На самом деле это нужно 3 равные формы, каждая из которых разделена на 5 куски равного размера, и 14 из них заштрихованы.
Число, состоящее из целое число плюс дробь — это смешанное число . Смешанные числа можно записать как неправильную дробь, а неправильную дробь — как смешанное число. Указанную выше неправильную дробь можно записать как 2 4 5 .
Пример 3:
Напишите 7 2 5 как неправильная дробь.
7 2 5 знак равно 7 1 + 2 5
знак равно 7 ⋅ 5 1 ⋅ 5 + 2 5
знак равно 35 год 5 + 2 5
знак равно 37 5
Пример 4:
Напишите 11 7 как смешанное число в простой форме.
11 7 знак равно 11 ÷ 7 знак равно 1 р 4
Следовательно, 11 7 знак равно 1 4 7 .
Часть находится в самые низкие условия когда числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1 .Чтобы записать дробь наименьшим числом, разделите числитель и знаменатель на наибольший общий делитель .
Пример 5:
Напишите 45 75 в самые низкие сроки.
45 а также 75 имеют общий фактор 15 .
45 75 знак равно 45 ÷ 15 75 ÷ 15 знак равно 3 5
Смотрите также дробные операции .
Как преобразовать целое число в дробь
Дроби — это часть повседневной жизни. Дроби описывают часть целого числа и могут быть найдены в рецептах, направлениях и покупках продуктов. Когда вы запекаете, вам регулярно понадобится 1/2 стакана ингредиента. Схема проезда говорит вам, что вам нужно проехать 2/3 мили по дороге, прежде чем повернуть. А пока вы ходите за продуктами, вы можете купить в гастрономе 1/4 фунта индейки. Если у вас есть целое число, которое нужно преобразовать в дробь, процесс довольно прост.
Что такое дроби?
Дробь состоит из двух чисел, расположенных одно над другим. Верхнее число дроби называется числителем, а нижнее число — знаменателем. Знаменатель показывает всю сумму, а числитель дает вам часть от целого. Дроби можно уменьшить, если и числитель, и знаменатель можно разделить на одно и то же число. Считайте 5/10; вы можете разделить оба числа на 5 и получить 1/2.
Типы дробей
Большинство дробей, которые вы видите, называются правильными дробями, что означает, что числитель меньше знаменателя, например 3/4.Если у вас есть дробь, у которой числитель больше знаменателя, у вас неправильная дробь. Пример неправильной дроби — 7/4. Когда вы переводите целое число в дробь, вы получите неправильную дробь. У вас также может быть смешанная дробь, где у вас есть целое число и дробь. Например, 2 2/3 будут смешанной дробью.
Целое число больше одного
Один из способов преобразовать целое число в дробь — просто сделать целое число числителем и сделать знаменатель равным 1.Если ваше целое число равно 30, ваша дробь будет 30/1. Дробь равна 30, значит, вы вообще не меняли число; вы просто представляете это по-другому. Таким образом можно превратить любое целое число в дробь, но в знаменателе всегда нужно оставлять 1.
Умножение целых чисел
Если вы хотите, чтобы ваше целое число представляло количество дробных частей, вам нужно использовать умножение. Например, если вы хотите, чтобы ваше целое число представляло трети, вы должны умножить целое число на 3, получив числитель, и число 1 на 3, получив знаменатель.Если ваше целое число равно 30, вы получите дробь 90/3. При использовании этого метода не уменьшайте дробь, потому что в итоге ваше исходное число будет больше 1.
Резюме: Представление частей целого в виде дробей
Резюме: Представление частей целого в виде дробей | ПредалгебраРезюме: представление частей целого в виде дробей
Ключевые концепции
- Собственность одного
- Любое число, кроме нуля, деленное само на себя, равно единице.[латекс] \ frac {a} {a} = 1 [/ latex], где [latex] a \ ne 0 [/ latex].
- Смешанные числа
- Смешанное число состоит из целого числа [latex] a [/ latex] и дроби [latex] \ frac {b} {c} [/ latex], где [latex] c \ ne 0 [/ latex] .
- Записывается так: [латекс] a \ frac {b} {c} \ enspace c \ ne 0 [/ latex]
- Правильные и неправильные дроби
- Дробь [латекс] ab [/ latex] является правильной дробью, если [latex] a
- Преобразование неправильной дроби в смешанное число.
- Разделим знаменатель на числитель.
- Укажите частное, остаток и делитель.
- Запишите смешанное число как частное [латекс] \ frac {\ text {остаток}} {\ text {divisor}} [/ latex].
- Преобразование смешанного числа в неправильную дробь.
- Умножьте целое число на знаменатель.
- Добавьте числитель к продукту, найденному на шаге 1.
- Запишите окончательную сумму над первоначальным знаменателем.
- Эквивалентные дроби Свойство
- Если [латекс] \ mathrm {a, b,} [/ latex] и [latex] c [/ latex] — числа, где [latex] b \ ne 0 [/ latex], [latex] c \ ne 0 [ / latex], затем [латекс] \ frac {a} {b} = \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot c} [/ latex].
Глоссарий
- Эквивалентные дроби
- Эквивалентные дроби — это две или более дроби, которые имеют одинаковое значение.
- дробь
- Дробь записывается [латекс] \ frac {a} {b} [/ latex]. в дроби [латекс] a [/ латекс] является числителем, а [латекс] b [/ латекс] — знаменателем. Дробь представляет собой части целого. Знаменатель [латекс] b [/ латекс] — это количество равных частей, на которые все было разделено, а числитель [латекс] a [/ латекс] указывает, сколько частей включено.
- смешанный номер
- Смешанное число содержит
Смешанные фракции
(также называется « смешанных номеров »)
| 1 3 4 |
| (одна и три четверти) |
Смешанная фракция
целое число
и правильная дробь
комбинированный.
Например, 1 3 4
Примеры
Видите, как каждый пример состоит из целого числа и правильной дроби вместе? Именно поэтому ее называют «смешанной» дробью (или смешанным числом).
Имена
Мы можем дать названия каждой части смешанной дроби:
Три типа дробей
Дробь бывает трех видов:
Смешанные или неправильные фракции
Мы можем использовать неправильную или смешанную дробь, чтобы показать одинаковую сумму.
Например, 1 3 4 = 7 4 , как показано здесь:
Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь, выполните следующие действия:
| |
Пример: преобразовать
11 4 в смешанную дробь.Разделить:
11 ÷ 4 = 2 с остатком 3
Запишите 2, а затем запишите остаток (3) над знаменателем (4).
Ответ:
2 3 4
Этот пример можно записать так:
Пример: преобразовать
10 3 в смешанную дробь.Ответ:
3 1 3
Преобразование смешанной дроби в неправильную дробь
Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь, выполните следующие действия:
| |
Пример: преобразовать 3
2 5 в неправильную дробь.Умножьте целую часть числа на знаменатель:
3 × 5 = 15
Добавьте это в числитель:
15 + 2 = 17
Затем запишите этот результат над знаменателем:
17 5
Мы можем сделать числитель за один раз:
Пример: преобразовать 2
1 9 в неправильную дробь.Неправильные дроби — плохо?
НЕТ, неплохие!
По математике они на самом деле на лучше, чем на смешанные дроби. Потому что смешанные дроби могут сбивать с толку, когда мы записываем их в формулу: следует складывать или умножать две части?
| Смешанная фракция: | Что такое: | 1 + 2 1 4 | ? | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Это: | 1 + 2 + 1 4 | = 3 1 4 ? | |||
| Или это: | 1 + 2 × 1 4 | = 1 1 2 ? | |||
| Неправильная фракция: | Что такое: | 1 + 9 4 | ? | ||
| Это: | 4 4 + 9 4 = 13 4 |
Но для повседневного использования люди лучше понимают смешанные дроби.